Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 20 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
Un’auto che viaggia a 54 km/h frena con una decelerazione costante di 5 m/s² fino a fermarsi. Trova lo spazio di frenata s.
Un sasso viene lasciato cadere da fermo in un pozzo. Il tonfo si sente 4,5 s dopo il rilascio del sasso. La velocità del suono è 343 m/s; trascura la resistenza dell’aria e usa g = 9,81 m/s². Trova la profondità d del pozzo.
Un blocco di 13 kg scivola lungo un pendio senza attrito inclinato di 25° sull’orizzontale. Usa g = 9,81 m/s². Trova l’accelerazione a del blocco lungo il pendio.
Un blocco di 7,5 kg su un tavolo orizzontale è collegato, tramite un filo leggero che passa su una carrucola senza attrito, a una massa appesa di 5 kg. Il tavolo è privo di attrito. Usa g = 9,81 m/s². Trova la tensione T nel filo.
Una palla viene calciata da un terreno piano a 22 m/s e 35° sopra l’orizzontale verso un muro a 19 m di distanza. Trascura la resistenza dell’aria e usa g = 9,81 m/s². A quale altezza y la palla passa il muro?
Una palla viene lanciata a 55° sopra l’orizzontale dalla cima di una scogliera alta 25 m. Trascura la resistenza dell’aria. Trova il tempo di volo t finché la palla tocca terra.
In un rotor del luna park, i passeggeri stanno appoggiati alla parete di un cilindro verticale di raggio 2,2 m. Quando gira abbastanza veloce il pavimento si abbassa e l’attrito li sostiene. Il coefficiente di attrito statico è 0,3. Usa g = 9,81 m/s². Trova la frequenza di rotazione minima n in giri al minuto.
Un carrello di 3,5 kg viene lasciato da fermo a un’altezza di 19,5 m su una pista priva di attrito e percorre un giro della morte verticale di raggio 6,5 m. Usa g = 9,81 m/s². Trova la forza normale Nbottom della pista sul carrello nel punto più basso del giro.
Un’auto che viaggia a 40 km/h su una strada orizzontale frena bruscamente e slitta fino a fermarsi con le ruote bloccate. Il coefficiente di attrito dinamico tra pneumatici e strada è 0,5. Trova lo spazio di arresto d.
Un carrello di 1 kg viene lasciato da fermo a un’altezza di 10 m su una pista liscia che porta a un giro della morte verticale di raggio 2,5 m. Trova la forza normale N che la pista esercita sul carrello nel punto più alto del giro.
Un carrello di 3,5 kg che si muove a 3 m/s urta frontalmente, in modo perfettamente elastico, un carrello di 4,5 kg fermo su una rotaia senza attrito. Trova la velocità v′2 del secondo carrello dopo l’urto.
Una palla di 0,35 kg colpisce una parete a 24 m/s e rimbalza indietro in linea retta a 9 m/s. Il contatto dura 20 ms. Trova il modulo dell’impulso J che la parete imprime alla palla.
Un motore eroga una coppia di 1110 N·m a 600 rpm. Trova la sua potenza in uscita P in kW.
Un anello sottile parte da fermo e rotola senza strisciare lungo un piano inclinato di 30° rispetto all’orizzontale. Usa g = 9,81 m/s². Il suo raggio è 0,2 m. Trova la sua velocità angolare ω dopo che ha rotolato per 2,5 m lungo il piano.
Un motore da 1,1 kW che gira a 1450 rpm aziona un pignone con 40 denti, che ingrana con una ruota con 48 denti. La coppia di ruote ha un rendimento del 97 %. Trova il momento torcente T1 sull’albero del motore.
Un motore da 11 kW a 1450 rpm aziona la ruota A (12 denti), che ingrana con la ruota B (72 denti). La ruota C (25 denti), sullo stesso albero di B, aziona la ruota D (80 denti) sull’albero di uscita. Ogni ingranamento ha un rendimento del 95%. Trova la coppia in uscita Tout.
Un astronauta su un altro pianeta trova che un pendolo semplice lungo 1,3 m ha un periodo di 3,72 s per piccole oscillazioni. Trova l’accelerazione di gravità g su quel pianeta.
Una massa di 3,9 kg attaccata a una molla con k = 120 N/m viene spostata di 20 cm dalla posizione di equilibrio e lasciata andare. Trova l’energia totale E dell’oscillazione.
Una massa di 100 kg è sostenuta da una molla con rigidezza di 25 kN/m e da uno smorzatore viscoso con coefficiente di smorzamento di 1580 N·s/m. Trova il fattore di smorzamento ζ.
Una massa di 10 kg è appesa a due molle collegate una dopo l’altra (in serie): la molla superiore ha k₁ = 100 kN/m e quella inferiore k₂ = 30 kN/m. Trascura lo smorzamento e le masse delle molle. Trova la frequenza naturale fn delle vibrazioni verticali in Hz.
Risposta: s = 22,5 m
Moto uniformemente accelerato: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² e v² = v₀² + 2·a·s. Scegli l’equazione che contiene le tre grandezze che conosci e quella che cerchi, e mantieni i segni coerenti con un unico verso positivo.
Risposta: d = 88,29 m
Moto uniformemente accelerato: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² e v² = v₀² + 2·a·s. Scegli l’equazione che contiene le tre grandezze che conosci e quella che cerchi, e mantieni i segni coerenti con un unico verso positivo.
Solo la radice positiva ha significato fisico.
Risposta: a = 4,146 m/s²
Secondo principio della dinamica: la forza risultante su un corpo è uguale alla sua massa per la sua accelerazione, ΣF = m·a. Disegna un diagramma di corpo libero, scegli un verso positivo lungo il moto e somma tutte le forze in quella direzione: forze applicate, attrito μ·N opposto al moto e componenti della forza peso.
Verso il basso lungo il pendio è positivo.
Risposta: T = 29,43 N
Secondo principio della dinamica: la forza risultante su un corpo è uguale alla sua massa per la sua accelerazione, ΣF = m·a. Disegna un diagramma di corpo libero, scegli un verso positivo lungo il moto e somma tutte le forze in quella direzione: forze applicate, attrito μ·N opposto al moto e componenti della forza peso.
Risposta: y = 7,852 m
Moto del proiettile: senza resistenza dell’aria, x = vxt e y = h + vyt − ½gt². Le due direzioni sono indipendenti, tranne che condividono lo stesso tempo.
Al muro la palla sta ancora salendo.
Risposta: t = 5,588 s
Moto del proiettile: senza resistenza dell’aria, x = vxt e y = h + vyt − ½gt². Le due direzioni sono indipendenti, tranne che condividono lo stesso tempo.
La velocità orizzontale resta costante; il moto verticale ha un’accelerazione costante g = 9,81 m/s² verso il basso.
Risolvi y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0 per la radice positiva.
Risposta: n = 36,82 rpm
Moto circolare uniforme: un oggetto che si muove con velocità v su una circonferenza di raggio r ha un’accelerazione diretta verso il centro a = v²/r, quindi richiede una forza risultante verso il centro F = m·v²/r. Questa forza è fornita da qualcosa di reale: attrito, tensione, gravità o forza normale.
Risposta: Nbottom = 240,3 N
Moto circolare uniforme: un oggetto che si muove con velocità v su una circonferenza di raggio r ha un’accelerazione diretta verso il centro a = v²/r, quindi richiede una forza risultante verso il centro F = m·v²/r. Questa forza è fornita da qualcosa di reale: attrito, tensione, gravità o forza normale.
Il verso verso il centro è positivo.
Risposta: d = 12,58 m
Teorema dell’energia cinetica: la variazione di energia cinetica è uguale al lavoro di tutte le forze. Scrivendo gravità e molle come energia potenziale (mgh e ½kx²) si ottiene un bilancio: energia iniziale = energia finale + energia persa per attrito (μN·d).
Raddoppiando la velocità lo spazio di arresto diventa quattro volte più lungo.
Risposta: N = 29,43 N
Teorema dell’energia cinetica: la variazione di energia cinetica è uguale al lavoro di tutte le forze. Scrivendo gravità e molle come energia potenziale (mgh e ½kx²) si ottiene un bilancio: energia iniziale = energia finale + energia persa per attrito (μN·d). Su una traiettoria circolare la forza risultante verso il centro deve essere uguale a mv²/r.
Il carrello riesce appena a completare il giro quando h = 2,5R; allora N = 0 nel punto più alto.
Risposta: v′2 = 2,625 m/s
Conservazione della quantità di moto: se durante un urto non agisce alcuna forza esterna, la quantità di moto totale Σm·v prima è uguale a quella dopo. Le velocità hanno un verso, quindi scegli un verso positivo e dai segno meno alle velocità nel verso opposto. In un urto elastico si conserva anche l’energia cinetica; in uno completamente anelastico i corpi restano uniti.
Risolvendo insieme la conservazione della quantità di moto e quella dell’energia si ottengono questi due risultati.
Risposta: J = 11,55 N·s
Conservazione della quantità di moto: se durante un urto non agisce alcuna forza esterna, la quantità di moto totale Σm·v prima è uguale a quella dopo. Le velocità hanno un verso, quindi scegli un verso positivo e dai segno meno alle velocità nel verso opposto. In un urto elastico si conserva anche l’energia cinetica; in uno completamente anelastico i corpi restano uniti.
Risposta: P = 69,74 kW
Rotazione attorno a un asse fisso: la somma dei momenti rispetto all’asse è uguale a I·α (ΣM = I·α), proprio come ΣF = m·a per la traslazione. In forma energetica, una coppia T che ruota di un angolo θ (in radianti) compie il lavoro T·θ, che modifica l’energia cinetica ½·I·ω²; la gravità aggiunge o toglie m·g·Δh del baricentro. La potenza è P = T·ω.
Risposta: ω = 17,51 rad/s
Rotolamento e momento angolare: un corpo che rotola senza strisciare ha v = ω·r, quindi la sua energia cinetica è ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Lungo un piano inclinato questo dà a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Quando nessun momento esterno agisce rispetto a un asse, il momento angolare rispetto a quell’asse resta costante, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, anche se si perde energia cinetica.
Rotolamento senza strisciamento: ω = v/r, e l’attrito non compie lavoro nel punto di contatto.
Risposta: T1 = 7,244 N·m
Rotismi: le ruote dentate in presa hanno la stessa velocità sui denti, quindi n₁·N₁ = n₂·N₂: la ruota con meno denti gira più veloce. Le ruote calettate sullo stesso albero girano alla stessa velocità. La potenza si trasmette (a meno delle perdite), quindi il momento torcente aumenta quando la velocità diminuisce: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, e P = T·ω con ω = 2π·n/60.
Risposta: Tout = 1255 N·m
Rotismi: le ruote dentate in presa hanno la stessa velocità sui denti, quindi n₁·N₁ = n₂·N₂: la ruota con meno denti gira più veloce. Le ruote calettate sullo stesso albero girano alla stessa velocità. La potenza si trasmette (a meno delle perdite), quindi il momento torcente aumenta quando la velocità diminuisce: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, e P = T·ω con ω = 2π·n/60.
Risposta: g = 3,709 m/s²
Moto armonico semplice: una massa m su una molla di costante elastica k oscilla con pulsazione ω = √(k/m) e periodo T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Un pendolo semplice di lunghezza L ha T = 2π·√(L/g). Con ampiezza A, la velocità massima è A·ω, l’accelerazione massima A·ω² e l’energia ½·k·A².
Risposta: E = 2,4 J
Moto armonico semplice: una massa m su una molla di costante elastica k oscilla con pulsazione ω = √(k/m) e periodo T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Un pendolo semplice di lunghezza L ha T = 2π·√(L/g). Con ampiezza A, la velocità massima è A·ω, l’accelerazione massima A·ω² e l’energia ½·k·A².
Risposta: ζ = 0,4996
Vibrazioni libere di un sistema massa–molla: la pulsazione naturale non smorzata è ωn = √(k/m) in rad/s, e fn = ωn/(2π) in Hz. Uno smorzatore viscoso c dà il fattore di smorzamento ζ = c/cc, con smorzamento critico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Un sistema sottosmorzato (ζ < 1) oscilla a ωd = ωn·√(1 − ζ²). Le molle in parallelo si sommano, k = k₁ + k₂; le molle in serie si sommano come reciproci, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
ζ < 1, quindi il sistema è sottosmorzato e oscilla mentre si smorza.
Risposta: fn = 7,646 Hz
Vibrazioni libere di un sistema massa–molla: la pulsazione naturale non smorzata è ωn = √(k/m) in rad/s, e fn = ωn/(2π) in Hz. Uno smorzatore viscoso c dà il fattore di smorzamento ζ = c/cc, con smorzamento critico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Un sistema sottosmorzato (ζ < 1) oscilla a ωd = ωn·√(1 − ζ²). Le molle in parallelo si sommano, k = k₁ + k₂; le molle in serie si sommano come reciproci, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Le molle in serie hanno la stessa forza e sommano le loro deformazioni, quindi si combinano come reciproci: 1/k = 1/k1 + 1/k2.
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