Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 20 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
Un’auto che viaggia a 36 km/h frena con una decelerazione costante di 3 m/s² fino a fermarsi. Quanto dura la frenata? Trova t.
Una palla viene lanciata verticalmente verso l’alto a 15 m/s dal bordo di un tetto a 40 m dal suolo. Trascura la resistenza dell’aria e usa g = 9,81 m/s². Quanto tempo dopo il lancio tocca il suolo? Trova t.
Un blocco di 2 kg scivola lungo un pendio inclinato di 30° sull’orizzontale. Il coefficiente di attrito dinamico è 0,15. Usa g = 9,81 m/s². Trova l’accelerazione a del blocco lungo il pendio.
Un blocco di 4,5 kg su un tavolo orizzontale è collegato, tramite un filo leggero che passa su una carrucola senza attrito, a una massa appesa di 2,5 kg. Il coefficiente di attrito dinamico tra blocco e tavolo è 0,25. Usa g = 9,81 m/s². Trova l’accelerazione a del sistema.
Una palla viene calciata da un terreno piano a 32 m/s e 65° sopra l’orizzontale verso un muro a 32 m di distanza. Trascura la resistenza dell’aria e usa g = 9,81 m/s². A quale altezza y la palla passa il muro?
Una palla viene lanciata a 32 m/s e 15° sopra l’orizzontale dalla cima di una scogliera di 40 m. Trascura la resistenza dell’aria e usa g = 9,81 m/s². Trova la velocità v con cui tocca il suolo.
Un’auto percorre una curva piana di raggio 45 m. Il coefficiente di attrito statico tra pneumatici e strada è 0,4. Usa g = 9,81 m/s². Trova la velocità massima vmax con cui l’auto può percorrere la curva senza slittare.
Una pallina di 1,1 kg attaccata a un filo leggero lungo 1,4 m viene fatta ruotare su una circonferenza verticale. Nel punto più basso la sua velocità è 10,5 m/s. Trascura la resistenza dell’aria e usa g = 9,81 m/s². Trova la tensione Ttop nel filo nel punto più alto.
Un’auto di 2000 kg sale lungo una pendenza di 2° a velocità costante di 72 km/h. La resistenza dell’aria e la resistenza al rotolamento insieme valgono 750 N. Trova la potenza P che le ruote devono fornire, in kW.
Un blocco di 1 kg viene lasciato da fermo all’altezza 2,5 m su una rampa liscia. In fondo attraversa una striscia orizzontale ruvida lunga 5 m (μ = 0,2) e poi arriva contro una molla (k = 800 N/m) su una superficie liscia. Trova la velocità v del blocco quando raggiunge la molla.
Un carrello di 4 kg che si muove a 5 m/s urta frontalmente, in modo perfettamente elastico, un carrello di 2,5 kg fermo su una rotaia senza attrito. Trova la velocità v′2 del secondo carrello dopo l’urto.
Un proiettile di 12 g viene sparato orizzontalmente in un blocco di 1 kg appeso a fili leggeri lunghi 1,5 m, e vi resta conficcato. I fili oscillano fino a un angolo massimo di 20° dalla verticale. Usa g = 9,81 m/s². Trova la velocità v del proiettile prima dell’impatto.
Un volano con momento d’inerzia di 27 kg·m² ruota a 1200 rpm. Un freno applica una coppia d’attrito costante di 200 N·m. Quanto tempo t impiega a fermarsi?
Una persona sta su una piattaforma girevole senza attrito e tiene in ciascuna mano un manubrio da 2 kg, a 0,8 m dall’asse. La sola persona con la piattaforma ha un momento d’inerzia di 2,5 kg·m² rispetto all’asse. Ruotano a 40 rpm, poi la persona avvicina i manubri a 0,3 m dall’asse. Considera i manubri come masse puntiformi. Trova la nuova velocità n2 in rpm.
Una puleggia da 200 mm a 1500 giri/min aziona con una cinghia una puleggia da 300 mm con slittamento del 2 %. Trova la velocità n2 della puleggia condotta.
Una cinghia aperta collega una puleggia da 150 mm e una puleggia da 300 mm con gli assi a 1200 mm di distanza. Trova l’angolo di avvolgimento θ sulla puleggia più piccola, in gradi.
Quanto deve essere lungo un pendolo semplice per avere un periodo di 1,3 s? Usa g = 9,81 m/s². Trova L.
Una massa di 3,4 kg attaccata a una molla con k = 130 N/m viene spostata di 19 cm dalla posizione di equilibrio e lasciata andare. Trova la sua velocità massima vmax.
Una massa di 15 kg su una molla con rigidezza di 10 kN/m ha uno smorzatore viscoso che dà un fattore di smorzamento di 0,4. Trova la frequenza naturale smorzata fd delle sue vibrazioni libere in Hz.
Una massa di 20 kg è appesa alla molla k₃ = 60 kN/m. L’estremità superiore di k₃ è fissata a una barra rigida appesa a due molle affiancate, k₁ = 5 kN/m e k₂ = 5 kN/m; la barra resta orizzontale. Trascura lo smorzamento e le masse delle molle e della barra. Trova la frequenza naturale fn delle vibrazioni verticali in Hz.
Risposta: t = 3,333 s
Moto uniformemente accelerato: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² e v² = v₀² + 2·a·s. Scegli l’equazione che contiene le tre grandezze che conosci e quella che cerchi, e mantieni i segni coerenti con un unico verso positivo.
Risposta: t = 4,768 s
Moto uniformemente accelerato: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² e v² = v₀² + 2·a·s. Scegli l’equazione che contiene le tre grandezze che conosci e quella che cerchi, e mantieni i segni coerenti con un unico verso positivo.
Verso l’alto è positivo e il suolo si trova h₀ sotto il punto di partenza.
Solo la radice positiva ha significato fisico.
Risposta: a = 3,631 m/s²
Secondo principio della dinamica: la forza risultante su un corpo è uguale alla sua massa per la sua accelerazione, ΣF = m·a. Disegna un diagramma di corpo libero, scegli un verso positivo lungo il moto e somma tutte le forze in quella direzione: forze applicate, attrito μ·N opposto al moto e componenti della forza peso.
Verso il basso lungo il pendio è positivo.
Risposta: a = 1,927 m/s²
Secondo principio della dinamica: la forza risultante su un corpo è uguale alla sua massa per la sua accelerazione, ΣF = m·a. Disegna un diagramma di corpo libero, scegli un verso positivo lungo il moto e somma tutte le forze in quella direzione: forze applicate, attrito μ·N opposto al moto e componenti della forza peso.
Risposta: y = 41,16 m
Moto del proiettile: senza resistenza dell’aria, x = vxt e y = h + vyt − ½gt². Le due direzioni sono indipendenti, tranne che condividono lo stesso tempo.
Al muro la palla sta ancora salendo.
Risposta: v = 42,53 m/s
Moto del proiettile: senza resistenza dell’aria, x = vxt e y = h + vyt − ½gt². Le due direzioni sono indipendenti, tranne che condividono lo stesso tempo.
Energia oppure v² = v₀² + 2as in direzione verticale.
Verifica con l’energia: v² = v₀² + 2gh.
Risposta: vmax = 13,29 m/s
Moto circolare uniforme: un oggetto che si muove con velocità v su una circonferenza di raggio r ha un’accelerazione diretta verso il centro a = v²/r, quindi richiede una forza risultante verso il centro F = m·v²/r. Questa forza è fornita da qualcosa di reale: attrito, tensione, gravità o forza normale.
Risposta: Ttop = 32,67 N
Moto circolare uniforme: un oggetto che si muove con velocità v su una circonferenza di raggio r ha un’accelerazione diretta verso il centro a = v²/r, quindi richiede una forza risultante verso il centro F = m·v²/r. Questa forza è fornita da qualcosa di reale: attrito, tensione, gravità o forza normale.
L’energia cinetica si trasforma in energia potenziale su un dislivello di 2r.
Tensione e gravità sono entrambe dirette verso il basso, verso il centro.
Risposta: P = 28,69 kW
Teorema dell’energia cinetica: la variazione di energia cinetica è uguale al lavoro di tutte le forze. Scrivendo gravità e molle come energia potenziale (mgh e ½kx²) si ottiene un bilancio: energia iniziale = energia finale + energia persa per attrito (μN·d). La potenza è forza per velocità: P = F·v.
Risposta: v = 5,425 m/s
Teorema dell’energia cinetica: la variazione di energia cinetica è uguale al lavoro di tutte le forze. Scrivendo gravità e molle come energia potenziale (mgh e ½kx²) si ottiene un bilancio: energia iniziale = energia finale + energia persa per attrito (μN·d).
La rampa è liscia, quindi solo la striscia toglie energia.
Risposta: v′2 = 6,154 m/s
Conservazione della quantità di moto: se durante un urto non agisce alcuna forza esterna, la quantità di moto totale Σm·v prima è uguale a quella dopo. Le velocità hanno un verso, quindi scegli un verso positivo e dai segno meno alle velocità nel verso opposto. In un urto elastico si conserva anche l’energia cinetica; in uno completamente anelastico i corpi restano uniti.
Risolvendo insieme la conservazione della quantità di moto e quella dell’energia si ottengono questi due risultati.
Risposta: v = 112,4 m/s
Conservazione della quantità di moto: se durante un urto non agisce alcuna forza esterna, la quantità di moto totale Σm·v prima è uguale a quella dopo. Le velocità hanno un verso, quindi scegli un verso positivo e dai segno meno alle velocità nel verso opposto. In un urto elastico si conserva anche l’energia cinetica; in uno completamente anelastico i corpi restano uniti.
Risposta: t = 16,96 s
Rotazione attorno a un asse fisso: la somma dei momenti rispetto all’asse è uguale a I·α (ΣM = I·α), proprio come ΣF = m·a per la traslazione. In forma energetica, una coppia T che ruota di un angolo θ (in radianti) compie il lavoro T·θ, che modifica l’energia cinetica ½·I·ω²; la gravità aggiunge o toglie m·g·Δh del baricentro. La potenza è P = T·ω.
Risposta: n2 = 70,77 rpm
Rotolamento e momento angolare: un corpo che rotola senza strisciare ha v = ω·r, quindi la sua energia cinetica è ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Lungo un piano inclinato questo dà a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Quando nessun momento esterno agisce rispetto a un asse, il momento angolare rispetto a quell’asse resta costante, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, anche se si perde energia cinetica.
L’energia cinetica aumenta: l’energia in più proviene dal lavoro che la persona compie avvicinando i manubri.
Risposta: n2 = 980 rpm
Trasmissioni a cinghia: senza slittamento, entrambe le pulegge hanno la stessa velocità periferica v = π·d·n/60, quindi n₁·d₁ = n₂·d₂ e il rapporto di velocità è d₂/d₁. Lo slittamento s rende la puleggia condotta un po’ più lenta: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). La potenza trasmessa è P = (T₁ − T₂)·v, con T₁ la tensione sul lato teso e T₂ sul lato lento. L’attrito limita il rapporto tra le tensioni: T₁/T₂ = eμθ, dove θ è l’angolo di avvolgimento in radianti sulla puleggia più piccola; per una cinghia aperta θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) con interasse C.
Risposta: θ = 172,8 °
Trasmissioni a cinghia: senza slittamento, entrambe le pulegge hanno la stessa velocità periferica v = π·d·n/60, quindi n₁·d₁ = n₂·d₂ e il rapporto di velocità è d₂/d₁. Lo slittamento s rende la puleggia condotta un po’ più lenta: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). La potenza trasmessa è P = (T₁ − T₂)·v, con T₁ la tensione sul lato teso e T₂ sul lato lento. L’attrito limita il rapporto tra le tensioni: T₁/T₂ = eμθ, dove θ è l’angolo di avvolgimento in radianti sulla puleggia più piccola; per una cinghia aperta θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) con interasse C.
Risposta: L = 0,4199 m
Moto armonico semplice: una massa m su una molla di costante elastica k oscilla con pulsazione ω = √(k/m) e periodo T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Un pendolo semplice di lunghezza L ha T = 2π·√(L/g). Con ampiezza A, la velocità massima è A·ω, l’accelerazione massima A·ω² e l’energia ½·k·A².
Risposta: vmax = 1,175 m/s
Moto armonico semplice: una massa m su una molla di costante elastica k oscilla con pulsazione ω = √(k/m) e periodo T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Un pendolo semplice di lunghezza L ha T = 2π·√(L/g). Con ampiezza A, la velocità massima è A·ω, l’accelerazione massima A·ω² e l’energia ½·k·A².
Risposta: fd = 3,766 Hz
Vibrazioni libere di un sistema massa–molla: la pulsazione naturale non smorzata è ωn = √(k/m) in rad/s, e fn = ωn/(2π) in Hz. Uno smorzatore viscoso c dà il fattore di smorzamento ζ = c/cc, con smorzamento critico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Un sistema sottosmorzato (ζ < 1) oscilla a ωd = ωn·√(1 − ζ²). Le molle in parallelo si sommano, k = k₁ + k₂; le molle in serie si sommano come reciproci, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Risposta: fn = 3,295 Hz
Vibrazioni libere di un sistema massa–molla: la pulsazione naturale non smorzata è ωn = √(k/m) in rad/s, e fn = ωn/(2π) in Hz. Uno smorzatore viscoso c dà il fattore di smorzamento ζ = c/cc, con smorzamento critico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Un sistema sottosmorzato (ζ < 1) oscilla a ωd = ωn·√(1 − ζ²). Le molle in parallelo si sommano, k = k₁ + k₂; le molle in serie si sommano come reciproci, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Solo k1 e k2 sono in parallelo. Questa coppia è in serie con k3, quindi combinale come reciproci.
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