Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 20 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
Una conducente che viaggia a 72 km/h vede un ostacolo. Il suo tempo di reazione è 0,7 s, dopo il quale l’auto frena con una decelerazione costante di 7 m/s². Trova lo spazio di arresto totale d dal momento in cui vede l’ostacolo.
Una palla viene lanciata verticalmente verso l’alto a 15 m/s dal bordo di un tetto a 15 m dal suolo. Trascura la resistenza dell’aria e usa g = 9,81 m/s². Trova l’altezza massima hmax dal suolo.
Un blocco di 19 kg scivola lungo un pendio inclinato di 35° sull’orizzontale. Il coefficiente di attrito dinamico è 0,15. Usa g = 9,81 m/s². Trova l’accelerazione a del blocco lungo il pendio.
Un blocco di 3 kg su un tavolo orizzontale è collegato, tramite un filo leggero che passa su una carrucola senza attrito, a una massa appesa di 4 kg. Il coefficiente di attrito dinamico tra blocco e tavolo è 0,25. Usa g = 9,81 m/s². Trova l’accelerazione a del sistema.
Una palla viene lanciata da un terreno piano a 36 m/s e deve atterrare a 100 m di distanza. Trascura la resistenza dell’aria e usa g = 9,81 m/s². Trova il minore dei due possibili angoli di lancio θ.
Una palla viene lanciata a 50° sopra l’orizzontale dalla cima di una scogliera alta 15 m. Trascura la resistenza dell’aria. Trova il tempo di volo t finché la palla tocca terra.
Una pallina appesa a un filo di lunghezza 0,5 m si muove su una circonferenza orizzontale in modo che il filo formi un angolo costante di 20° con la verticale (pendolo conico). Usa g = 9,81 m/s². Trova la velocità v della pallina.
Una curva di raggio 260 m è sopraelevata di 18°, e il coefficiente di attrito statico tra pneumatici e strada è 0,15. Usa g = 9,81 m/s². Trova la velocità minima vmin alla quale un’auto può percorrere la curva senza scivolare giù lungo la sopraelevazione.
Un’auto di 1200 kg sale lungo una pendenza di 4° a velocità costante di 54 km/h. La resistenza dell’aria e la resistenza al rotolamento insieme valgono 200 N. Trova la potenza P che le ruote devono fornire, in kW.
Un blocco di 2 kg viene lasciato da fermo all’altezza 4 m su una rampa liscia. In fondo attraversa una striscia orizzontale ruvida lunga 1 m (μ = 0,1) e poi arriva contro una molla (k = 1000 N/m) su una superficie liscia. Trova la velocità v del blocco quando raggiunge la molla.
Un carrello di 2,5 kg che si muove a 5 m/s urta frontalmente, in modo perfettamente elastico, un carrello di 5 kg fermo su una rotaia senza attrito. Trova la velocità v′1 del primo carrello dopo l’urto (positiva nel suo verso iniziale).
A un incrocio un’auto di 900 kg che viaggia verso est a 22 m/s urta un’auto di 1600 kg che viaggia verso nord a 8 m/s. Le auto restano agganciate. Trova la velocità v′ dei rottami subito dopo l’urto.
Un motore eroga una coppia di 510 N·m a 1100 rpm. Trova la sua potenza in uscita P in kW.
Un sfera piena rotola senza strisciare lungo un piano inclinato di 20° rispetto all’orizzontale. Usa g = 9,81 m/s². Parte da fermo. Quanto tempo t impiega a rotolare per 9 m lungo il piano?
Una cinghia scorre su una puleggia motrice da 200 mm a 2880 giri/min. La tensione è 1200 N sul lato teso e 480 N sul lato lento. Trova la potenza P trasmessa, in kW.
In un rotismo composto, la ruota A (36 denti) sull’albero di ingresso, che gira a 1500 rpm, aziona la ruota B (60 denti). La ruota C (20 denti) è calettata sullo stesso albero di B e aziona la ruota D (32 denti) sull’albero di uscita. Trova la velocità di uscita nout.
Un astronauta su un altro pianeta trova che un pendolo semplice lungo 0,8 m ha un periodo di 2,91 s per piccole oscillazioni. Trova l’accelerazione di gravità g su quel pianeta.
Una massa di 1,7 kg attaccata a una molla con k = 330 N/m viene spostata di 8 cm dalla posizione di equilibrio e lasciata andare. Trova l’energia totale E dell’oscillazione.
Una massa di 40 kg su una molla con rigidezza di 50 kN/m ha uno smorzatore viscoso che dà un fattore di smorzamento di 0,35. Trova la frequenza naturale smorzata fd delle sue vibrazioni libere in Hz.
Una massa di 10 kg è appesa a due molle affiancate (in parallelo), con rigidezze k₁ = 20 kN/m e k₂ = 5 kN/m. La massa resta orizzontale. Trascura lo smorzamento e le masse delle molle. Trova la frequenza naturale fn delle vibrazioni verticali in Hz.
Risposta: d = 42,57 m
Moto uniformemente accelerato: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² e v² = v₀² + 2·a·s. Scegli l’equazione che contiene le tre grandezze che conosci e quella che cerchi, e mantieni i segni coerenti con un unico verso positivo.
Risposta: hmax = 26,47 m
Moto uniformemente accelerato: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² e v² = v₀² + 2·a·s. Scegli l’equazione che contiene le tre grandezze che conosci e quella che cerchi, e mantieni i segni coerenti con un unico verso positivo.
Risposta: a = 4,421 m/s²
Secondo principio della dinamica: la forza risultante su un corpo è uguale alla sua massa per la sua accelerazione, ΣF = m·a. Disegna un diagramma di corpo libero, scegli un verso positivo lungo il moto e somma tutte le forze in quella direzione: forze applicate, attrito μ·N opposto al moto e componenti della forza peso.
Verso il basso lungo il pendio è positivo.
Risposta: a = 4,555 m/s²
Secondo principio della dinamica: la forza risultante su un corpo è uguale alla sua massa per la sua accelerazione, ΣF = m·a. Disegna un diagramma di corpo libero, scegli un verso positivo lungo il moto e somma tutte le forze in quella direzione: forze applicate, attrito μ·N opposto al moto e componenti della forza peso.
Risposta: θ = 24,6 °
Moto del proiettile: senza resistenza dell’aria, x = vxt e y = h + vyt − ½gt². Le due direzioni sono indipendenti, tranne che condividono lo stesso tempo.
L’altra soluzione è 90° − θ = 65,4°.
Risposta: t = 3,156 s
Moto del proiettile: senza resistenza dell’aria, x = vxt e y = h + vyt − ½gt². Le due direzioni sono indipendenti, tranne che condividono lo stesso tempo.
La velocità orizzontale resta costante; il moto verticale ha un’accelerazione costante g = 9,81 m/s² verso il basso.
Risolvi y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0 per la radice positiva.
Risposta: v = 0,7814 m/s
Moto circolare uniforme: un oggetto che si muove con velocità v su una circonferenza di raggio r ha un’accelerazione diretta verso il centro a = v²/r, quindi richiede una forza risultante verso il centro F = m·v²/r. Questa forza è fornita da qualcosa di reale: attrito, tensione, gravità o forza normale.
Tensione e gravità insieme danno la forza verso il centro: tan θ = v²/(r·g).
Risposta: vmin = 20,63 m/s
Moto circolare uniforme: un oggetto che si muove con velocità v su una circonferenza di raggio r ha un’accelerazione diretta verso il centro a = v²/r, quindi richiede una forza risultante verso il centro F = m·v²/r. Questa forza è fornita da qualcosa di reale: attrito, tensione, gravità o forza normale.
L’attrito è diretto verso l’alto lungo il pendio.
Risposta: P = 15,32 kW
Teorema dell’energia cinetica: la variazione di energia cinetica è uguale al lavoro di tutte le forze. Scrivendo gravità e molle come energia potenziale (mgh e ½kx²) si ottiene un bilancio: energia iniziale = energia finale + energia persa per attrito (μN·d). La potenza è forza per velocità: P = F·v.
Risposta: v = 8,747 m/s
Teorema dell’energia cinetica: la variazione di energia cinetica è uguale al lavoro di tutte le forze. Scrivendo gravità e molle come energia potenziale (mgh e ½kx²) si ottiene un bilancio: energia iniziale = energia finale + energia persa per attrito (μN·d).
La rampa è liscia, quindi solo la striscia toglie energia.
Risposta: v′1 = −1,667 m/s
Conservazione della quantità di moto: se durante un urto non agisce alcuna forza esterna, la quantità di moto totale Σm·v prima è uguale a quella dopo. Le velocità hanno un verso, quindi scegli un verso positivo e dai segno meno alle velocità nel verso opposto. In un urto elastico si conserva anche l’energia cinetica; in uno completamente anelastico i corpi restano uniti.
Risolvendo insieme la conservazione della quantità di moto e quella dell’energia si ottengono questi due risultati.
Il segno meno significa che il primo carrello rimbalza indietro.
Risposta: v′ = 9,431 m/s
Conservazione della quantità di moto: se durante un urto non agisce alcuna forza esterna, la quantità di moto totale Σm·v prima è uguale a quella dopo. Le velocità hanno un verso, quindi scegli un verso positivo e dai segno meno alle velocità nel verso opposto. In un urto elastico si conserva anche l’energia cinetica; in uno completamente anelastico i corpi restano uniti.
Risposta: P = 58,75 kW
Rotazione attorno a un asse fisso: la somma dei momenti rispetto all’asse è uguale a I·α (ΣM = I·α), proprio come ΣF = m·a per la traslazione. In forma energetica, una coppia T che ruota di un angolo θ (in radianti) compie il lavoro T·θ, che modifica l’energia cinetica ½·I·ω²; la gravità aggiunge o toglie m·g·Δh del baricentro. La potenza è P = T·ω.
Risposta: t = 2,741 s
Rotolamento e momento angolare: un corpo che rotola senza strisciare ha v = ω·r, quindi la sua energia cinetica è ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Lungo un piano inclinato questo dà a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Quando nessun momento esterno agisce rispetto a un asse, il momento angolare rispetto a quell’asse resta costante, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, anche se si perde energia cinetica.
Risposta: P = 21,71 kW
Trasmissioni a cinghia: senza slittamento, entrambe le pulegge hanno la stessa velocità periferica v = π·d·n/60, quindi n₁·d₁ = n₂·d₂ e il rapporto di velocità è d₂/d₁. Lo slittamento s rende la puleggia condotta un po’ più lenta: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). La potenza trasmessa è P = (T₁ − T₂)·v, con T₁ la tensione sul lato teso e T₂ sul lato lento. L’attrito limita il rapporto tra le tensioni: T₁/T₂ = eμθ, dove θ è l’angolo di avvolgimento in radianti sulla puleggia più piccola; per una cinghia aperta θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) con interasse C.
Risposta: nout = 562,5 rpm
Rotismi: le ruote dentate in presa hanno la stessa velocità sui denti, quindi n₁·N₁ = n₂·N₂: la ruota con meno denti gira più veloce. Le ruote calettate sullo stesso albero girano alla stessa velocità. La potenza si trasmette (a meno delle perdite), quindi il momento torcente aumenta quando la velocità diminuisce: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, e P = T·ω con ω = 2π·n/60.
rapporto totale = 2,667 : 1
Risposta: g = 3,73 m/s²
Moto armonico semplice: una massa m su una molla di costante elastica k oscilla con pulsazione ω = √(k/m) e periodo T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Un pendolo semplice di lunghezza L ha T = 2π·√(L/g). Con ampiezza A, la velocità massima è A·ω, l’accelerazione massima A·ω² e l’energia ½·k·A².
Risposta: E = 1,056 J
Moto armonico semplice: una massa m su una molla di costante elastica k oscilla con pulsazione ω = √(k/m) e periodo T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Un pendolo semplice di lunghezza L ha T = 2π·√(L/g). Con ampiezza A, la velocità massima è A·ω, l’accelerazione massima A·ω² e l’energia ½·k·A².
Risposta: fd = 5,271 Hz
Vibrazioni libere di un sistema massa–molla: la pulsazione naturale non smorzata è ωn = √(k/m) in rad/s, e fn = ωn/(2π) in Hz. Uno smorzatore viscoso c dà il fattore di smorzamento ζ = c/cc, con smorzamento critico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Un sistema sottosmorzato (ζ < 1) oscilla a ωd = ωn·√(1 − ζ²). Le molle in parallelo si sommano, k = k₁ + k₂; le molle in serie si sommano come reciproci, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Risposta: fn = 7,958 Hz
Vibrazioni libere di un sistema massa–molla: la pulsazione naturale non smorzata è ωn = √(k/m) in rad/s, e fn = ωn/(2π) in Hz. Uno smorzatore viscoso c dà il fattore di smorzamento ζ = c/cc, con smorzamento critico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Un sistema sottosmorzato (ζ < 1) oscilla a ωd = ωn·√(1 − ζ²). Le molle in parallelo si sommano, k = k₁ + k₂; le molle in serie si sommano come reciproci, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Le molle affiancate hanno la stessa deformazione e sommano le loro forze, quindi le rigidezze si sommano semplicemente: k = k1 + k2.
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