Disegna la tabella 2 × 2 e indica a, b, c e d prima di calcolare.
Leggi sensibilità e specificità lungo le colonne, i valori predittivi lungo le righe.
Per un’altra prevalenza, immagina 10 000 persone e riempi la tabella con Se, Sp e la prevalenza.
Per un rapporto di verosimiglianza, converti la probabilità in odds, moltiplica e riconverti.
Per uno studio clinico, trova prima EER e CER; poi RR = EER/CER, ARR = CER − EER e NNT = 1/ARR arrotondato per eccesso.
Statistica descrittiva
Media
x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z
z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale
68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ
Intervalli di confidenza
σ nota
x̄ ± z·σ/√n
σ incognita
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria
n = (z·σ/E)², rounded up
Metodo
Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.
Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Test z per una media
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t per una media
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%
rifiuta H0 se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza
x̄ ± z·σ/√n
Metodo
Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.
2Esercizi
1.Statistica per la pratica basata sulle evidenzeMedia
Esercizio di pratica (valori inventati, non indicazioni cliniche). Uno studio caso-controllo confronta 110 pazienti con una malattia (casi) e 100 persone senza di essa (controlli). La tabella mostra quanti in ciascun gruppo sono stati esposti a un fattore di rischio. Trova l’odds ratio OR per l’esposizione. Arrotonda a due cifre decimali.
a = 71b = 53c = 39d = 47
OR =
2.Statistica per la pratica basata sulle evidenzeDifficile
Esercizio di pratica (valori inventati, non indicazioni cliniche). Un paziente ha una probabilità pre-test del 40% per una malattia. Un test con sensibilità del 64% e specificità del 64% risulta negativa. Trova la probabilità post-test p′ della malattia in percentuale. Arrotonda a una cifra decimale.
pre-test 40%Se = 64%Sp = 64%negativa
p′ = %
3.Statistica descrittivaMedia
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 50, 36, 22, 37, 59, 15.
n = 6
s =
4.Statistica descrittivaDifficile
I voti di un esame hanno distribuzione normale con media 70 e deviazione standard 8. Trova il punteggio z z di un voto pari a 73,2.
μ = 70σ = 8x = 73,2
z =
5.Intervalli di confidenzaMedia
Si confronta la durata della batteria di due modelli di telefono. Modello 1: 40 telefoni, media 83,5 h, deviazione standard nota 8 h. Modello 2: 60 telefoni, media 77 h, deviazione standard nota 6 h. Trova il limite inferiore dell’intervallo di confidenza al 90% per μ₁ − μ₂.
Si provano due fertilizzanti. Gruppo di parcelle 1: 15 parcelle, resa media 20 kg, deviazione standard 9,5 kg. Gruppo di parcelle 2: 6 parcelle, media 32 kg, deviazione standard 7,5 kg. Supponi varianze uguali (t combinato, df = n₁ + n₂ − 2). Trova il limite superiore dell’intervallo di confidenza al 99% per μ₁ − μ₂.
Un campione di 16 studenti ha un punteggio medio di 503,6 e una deviazione standard campionaria di 5. Trova la statistica test t per H₀: μ = 500.
μ₀ = 500x̄ = 503,6s = 5n = 16
t =
8.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
Un test z unilaterale di H₀: μ = 50 contro H₁: μ < 50 viene eseguito con α = 0.05 su un campione di 100; la deviazione standard è nota e vale 15. In realtà la media è 46.55. Trova la potenza 1 − β del test in percentuale.
μ₀ = 50μ = 46,55σ = 15n = 100α = 0,05
1 − β = %
3Soluzioni
1.Statistica per la pratica basata sulle evidenze
Risposta: OR = 1,61
Rapporti di verosimiglianza e misure di rischio: LR+ = sensibilità/(1 − specificità), LR− = (1 − sensibilità)/specificità. In uno studio clinico, EER e CER sono i tassi di eventi con e senza trattamento: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER e NNT = 1/ARR, arrotondato per eccesso. In uno studio caso-controllo si può usare solo l’odds ratio OR = ad/(bc). Un tasso di incidenza = nuovi casi/persone-tempo.
Odds di esposizione
casi: 71/39 = 1,821
controlli: 53/47 = 1,128
Odds ratio
OR = (71·47)/(53·39) = 1,614 ≈ 1,61
Risposta
OR = 1,61
OR superiore a 1: l’esposizione è più comune tra i casi.
2.Statistica per la pratica basata sulle evidenze
Risposta: p′ = 27,3 %
I valori predittivi dipendono dalla prevalenza: VPP = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) e VPN = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Con i rapporti di verosimiglianza: odds pre-test = p/(1 − p), odds post-test = odds pre-test × LR, probabilità = odds/(1 + odds). Per una popolazione di N, veri positivi = N·p·Se e falsi positivi = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), arrotondato per eccesso.
Rapporto di verosimiglianza
LR− = (1 − 0,64)/0,64 = 0,5625
Odds pre-test
0,4/(1 − 0,4) = 0,6667
Odds post-test
0,6667·0,5625 = 0,375
Probabilità post-test
p′ = 0,375/(1 + 0,375) = 0,2727 ≈ 27,3%
Risposta
p′ = 27,3%
3.Statistica descrittiva
Risposta: s = 16,5
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = (73,2 − 70)/8 = 0,4
Risposta
z = 0,4
5.Intervalli di confidenza
Risposta: limite inferiore = 4,06 h
Intervallo per una differenza: stima ± valore critico × errore standard. Per due medie indipendenti con σ nota: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) e z. Con varianze uguali ma ignote: s_p combinata e t con n₁ + n₂ − 2 gradi di libertà. Per dati appaiati, lavora sulle differenze: d̄ ± t·s_d/√n.
Stima puntuale
x̄₁ − x̄₂ = 83,5 − 77 = 6,5
Errore standard
SE = √(8²/40 + 6²/60) = 1,483
Margine di errore
E = 1,645·1,483 = 2,44
Intervallo
6,5 ± 2,44 → [4,06, 8,94]
Risposta
limite inferiore = 4,06 h
L’intervallo non contiene 0, quindi le medie differiscono in modo significativo.
6.Intervalli di confidenza
Risposta: limite superiore = 0,4612 kg
Intervallo per una differenza: stima ± valore critico × errore standard. Per due medie indipendenti con σ nota: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) e z. Con varianze uguali ma ignote: s_p combinata e t con n₁ + n₂ − 2 gradi di libertà. Per dati appaiati, lavora sulle differenze: d̄ ± t·s_d/√n.
Deviazione standard combinata
sp² = (14·9,5² + 5·7,5²)/19 = 81,3
sp = 9,017
Margine di errore
E = 2,861·9,017·√(1/15 + 1/6) = 12,46
Intervallo
−12 ± 12,46 → [−24,46, 0,4612]
Risposta
limite superiore = 0,4612 kg
7.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: t = 2,88
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).
Errore standard
SE = 5/√16 = 5/4 = 1,25
Statistica test
t = (503,6 − 500)/1,25 = 2,88
Risposta
t = 2,88
t0,025; df = 15 = 2,131
|t| > 2,131, quindi H₀ viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).
8.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: 1 − β = 74,38 %
Potenza di un test: la potenza = 1 − β è la probabilità di rifiutare H₀ quando è falsa. Trova la soglia x̄c da μ₀ e z_α, poi calcola la probabilità di cadere oltre x̄c usando la media vera: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).