Disegna la tabella 2 × 2 e indica a, b, c e d prima di calcolare.
Leggi sensibilità e specificità lungo le colonne, i valori predittivi lungo le righe.
Per un’altra prevalenza, immagina 10 000 persone e riempi la tabella con Se, Sp e la prevalenza.
Per un rapporto di verosimiglianza, converti la probabilità in odds, moltiplica e riconverti.
Per uno studio clinico, trova prima EER e CER; poi RR = EER/CER, ARR = CER − EER e NNT = 1/ARR arrotondato per eccesso.
Statistica descrittiva
Media
x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z
z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale
68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ
Intervalli di confidenza
σ nota
x̄ ± z·σ/√n
σ incognita
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria
n = (z·σ/E)², rounded up
Metodo
Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.
Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Test z per una media
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t per una media
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%
rifiuta H0 se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza
x̄ ± z·σ/√n
Metodo
Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.
2Esercizi
1.Statistica per la pratica basata sulle evidenzeMedia
Esercizio di pratica (valori inventati, non indicazioni cliniche). In uno studio randomizzato, 790 pazienti hanno ricevuto un nuovo trattamento e 180 il trattamento di controllo. La tabella mostra quanti in ciascun gruppo hanno avuto l’esito (un evento indesiderato come un ictus). Trova il numero necessario da trattare NNT per prevenire un evento. Arrotonda per eccesso a un numero intero di pazienti.
trattamento: 161/790controllo: 61/180
NNT =
2.Statistica per la pratica basata sulle evidenzeDifficile
Esercizio di pratica (valori inventati, non indicazioni cliniche). Un trattamento riduce il rischio di un evento del 10% in termini relativi (RRR = 10%). In un gruppo di pazienti il rischio senza trattamento (CER) è del 29% in cinque anni. Trova il numero necessario da trattare NNT per cinque anni per prevenire un evento. Arrotonda per eccesso a un numero intero di pazienti.
RRR = 10%CER = 29%
NNT =
3.Statistica descrittivaMedia
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 60, 34, 52, 11, 54, 16.
n = 6
s =
4.Statistica descrittivaDifficile
I voti di un esame hanno distribuzione normale con media 70 e deviazione standard 15. Trova il punteggio z z di un voto pari a 40.
μ = 70σ = 15x = 40
z =
5.Intervalli di confidenzaMedia
Si confronta la durata della batteria di due modelli di telefono. Modello 1: 60 telefoni, media 108 h, deviazione standard nota 14 h. Modello 2: 50 telefoni, media 94,5 h, deviazione standard nota 5 h. Trova il limite superiore dell’intervallo di confidenza al 95% per μ₁ − μ₂.
Uno studio pilota indica che circa 0,3 dei prodotti sono difettosi. Quanti prodotti n si devono ispezionare perché un intervallo di confidenza al 90% per la proporzione abbia un margine di errore di al massimo 0,05?
p ≈ 0,3E = 0,0590%
n =
7.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia
Due linee di produzione fabbricano lo stesso pezzo. Linea 1: un campione di 50 pezzi ha lunghezza media 67,5 mm, e la deviazione standard nota della linea è 10 mm. Linea 2: un campione di 40 pezzi ha media 71,4 mm, deviazione standard nota 3 mm. Trova la statistica test z per H₀: μ₁ = μ₂, prendendo la differenza come x̄₁ − x̄₂ (linea 1 meno linea 2).
8.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
In una sperimentazione, 78 pazienti su 120 con il trattamento A guariscono, e 96 su 120 con il trattamento B. Usando la proporzione combinata, trova la statistica test z per H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 78n₁ = 120x₂ = 96n₂ = 120
z =
3Soluzioni
1.Statistica per la pratica basata sulle evidenze
Risposta: NNT = 8
Rapporti di verosimiglianza e misure di rischio: LR+ = sensibilità/(1 − specificità), LR− = (1 − sensibilità)/specificità. In uno studio clinico, EER e CER sono i tassi di eventi con e senza trattamento: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER e NNT = 1/ARR, arrotondato per eccesso. In uno studio caso-controllo si può usare solo l’odds ratio OR = ad/(bc). Un tasso di incidenza = nuovi casi/persone-tempo.
Tassi di eventi
EER = 161/790 = 0,2038
CER = 61/180 = 0,3389
Numero necessario da trattare
ARR = 0,3389 − 0,2038 = 0,1351
NNT = 1/0,1351 = 7,402 → 8
Risposta
NNT = 8
Trattare 8 pazienti previene circa un evento.
2.Statistica per la pratica basata sulle evidenze
Risposta: NNT = 35
I valori predittivi dipendono dalla prevalenza: VPP = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) e VPN = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Con i rapporti di verosimiglianza: odds pre-test = p/(1 − p), odds post-test = odds pre-test × LR, probabilità = odds/(1 + odds). Per una popolazione di N, veri positivi = N·p·Se e falsi positivi = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), arrotondato per eccesso.
Riduzione assoluta del rischio
ARR = 0,29·0,1 = 0,029
Numero necessario da trattare
NNT = 1/0,029 = 34,48 → 35
Risposta
NNT = 35
Lo stesso effetto relativo dà un NNT più piccolo quando il rischio di base è più alto.
3.Statistica descrittiva
Risposta: s = 20,81
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = (40 − 70)/15 = −2
Risposta
z = −2
5.Intervalli di confidenza
Risposta: limite superiore = 17,3 h
Intervallo per una differenza: stima ± valore critico × errore standard. Per due medie indipendenti con σ nota: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) e z. Con varianze uguali ma ignote: s_p combinata e t con n₁ + n₂ − 2 gradi di libertà. Per dati appaiati, lavora sulle differenze: d̄ ± t·s_d/√n.
Stima puntuale
x̄₁ − x̄₂ = 108 − 94,5 = 13,5
Errore standard
SE = √(14²/60 + 5²/50) = 1,941
Margine di errore
E = 1,96·1,941 = 3,804
Intervallo
13,5 ± 3,804 → [9,696, 17,3]
Risposta
limite superiore = 17,3 h
L’intervallo non contiene 0, quindi le medie differiscono in modo significativo.
6.Intervalli di confidenza
Risposta: n = 228
Intervallo di confidenza per una proporzione: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), dove p̂ = x/n. Per ottenere un margine E serve n ≥ z²·p(1 − p)/E², arrotondato per eccesso; senza una stima preliminare usa p = 0,5, che dà il valore di n più grande.
Ricava n
n = 1,645²·0,3·0,7/0,05² = 227,3
Arrotonda per eccesso
n = 228
Risposta
n = 228
7.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: z = −2,615
Test d’ipotesi: la statistica test = (stima − valore sotto H₀)/(errore standard sotto H₀). Il p-value è la probabilità, supponendo vera H₀, di una statistica almeno tanto estrema quanto quella osservata: l’area in una coda per una H₁ unilaterale, il doppio dell’area della coda per una H₁ bilaterale. Rifiuta H₀ quando p ≤ α.
Errore standard della differenza
SE = √(10²/50 + 3²/40) = √2,225 = 1,492
Statistica test
z = (67,5 − 71,4)/1,492 = −2,615
Risposta
z = −2,615
|z| > 1,96, quindi H₀ viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).
8.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: z = −2,602
Test d’ipotesi: la statistica test = (stima − valore sotto H₀)/(errore standard sotto H₀). Il p-value è la probabilità, supponendo vera H₀, di una statistica almeno tanto estrema quanto quella osservata: l’area in una coda per una H₁ unilaterale, il doppio dell’area della coda per una H₁ bilaterale. Rifiuta H₀ quando p ≤ α.
Proporzioni campionarie
p̂₁ = 78/120 = 0,65
p̂₂ = 96/120 = 0,8
p̂ = 174/240 = 0,725
Errore standard sotto H₀
SE = √(0,725·0,275·(1/120 + 1/120)) = 0,05764
Statistica test
z = (0,65 − 0,8)/0,05764 = −2,602
Risposta
z = −2,602
|z| > 1,96, quindi H₀ viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).