Disegna la tabella 2 × 2 e indica a, b, c e d prima di calcolare.
Leggi sensibilità e specificità lungo le colonne, i valori predittivi lungo le righe.
Per un’altra prevalenza, immagina 10 000 persone e riempi la tabella con Se, Sp e la prevalenza.
Per un rapporto di verosimiglianza, converti la probabilità in odds, moltiplica e riconverti.
Per uno studio clinico, trova prima EER e CER; poi RR = EER/CER, ARR = CER − EER e NNT = 1/ARR arrotondato per eccesso.
Statistica descrittiva
Media
x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z
z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale
68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ
Intervalli di confidenza
σ nota
x̄ ± z·σ/√n
σ incognita
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria
n = (z·σ/E)², rounded up
Metodo
Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.
Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Test z per una media
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t per una media
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%
rifiuta H0 se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza
x̄ ± z·σ/√n
Metodo
Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.
2Esercizi
1.Statistica per la pratica basata sulle evidenzeMedia
Esercizio di pratica (valori inventati, non indicazioni cliniche). In uno studio randomizzato, 230 pazienti hanno ricevuto un nuovo trattamento e 730 il trattamento di controllo. La tabella mostra quanti in ciascun gruppo hanno avuto un effetto collaterale. Trova il numero necessario per nuocere NNH: quanti pazienti vanno trattati perché un paziente in più presenti l’effetto collaterale? Arrotonda per eccesso a un numero intero di pazienti.
trattamento: 114/230controllo: 277/730
NNH =
2.Statistica per la pratica basata sulle evidenzeDifficile
Esercizio di pratica (valori inventati, non indicazioni cliniche). 10 000 persone vengono sottoposte a screening con un test di sensibilità 86% e specificità 80%. La prevalenza della malattia è del 12%. Quanti risultati positivi n₊ ci si aspetta in totale?
N = 10 000p = 12%Se = 86%Sp = 80%
n₊ =
3.Statistica descrittivaMedia
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 45, 54, 24, 13, 59.
n = 5
s =
4.Statistica descrittivaDifficile
Una grandezza ha distribuzione normale con media 60 e deviazione standard 8. Quale proporzione P dei valori è inferiore a 76?
μ = 60σ = 8x = 76
P =
5.Intervalli di confidenzaMedia
La pressione arteriosa di 6 pazienti viene misurata prima e dopo un trattamento. Le differenze d = prima − dopo (mmHg) hanno media 5,6 e deviazione standard 1,8. Trova il limite inferiore dell’intervallo di confidenza al 90% per la differenza media.
n = 6d̄ = 5,6sd = 1,890%t(5) = 2,015
limite inferiore = mmHg
6.Intervalli di confidenzaDifficile
I diametri di 11 alberi lavorati alla macchina hanno una deviazione standard campionaria di 3,8 µm. Supponendo che i diametri siano distribuiti normalmente, trova il limite superiore σ dell’intervallo di confidenza al 95% per la deviazione standard della popolazione. Con df = 10, il 2,5% della distribuzione χ² si trova sotto 3,247 e il 2,5% sopra 20,483.
n = 11s = 3,8 µmχ² = 3,247, 20,483
σ = µm
7.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia
Si afferma che la media di una popolazione sia 100; la deviazione standard della popolazione è nota e vale 10. Un campione casuale di 100 osservazioni ha media 98,5. Verifica H₀: μ = 100 contro H₁: μ ≠ 100. Trova il p-value p.
μ₀ = 100σ = 10n = 100x̄ = 98,5H₁: μ ≠ μ₀
p =
8.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
Un test z unilaterale di H₀: μ = 80 contro H₁: μ < 80 viene eseguito con α = 0.05 su un campione di 36; la deviazione standard è nota e vale 3. In realtà la media è 78.5. Trova la probabilità di un errore di secondo tipo β in percentuale.
μ₀ = 80μ = 78,5σ = 3n = 36α = 0,05
β = %
3Soluzioni
1.Statistica per la pratica basata sulle evidenze
Risposta: NNH = 9
Rapporti di verosimiglianza e misure di rischio: LR+ = sensibilità/(1 − specificità), LR− = (1 − sensibilità)/specificità. In uno studio clinico, EER e CER sono i tassi di eventi con e senza trattamento: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER e NNT = 1/ARR, arrotondato per eccesso. In uno studio caso-controllo si può usare solo l’odds ratio OR = ad/(bc). Un tasso di incidenza = nuovi casi/persone-tempo.
Tassi di eventi
EER = 114/230 = 0,4957
CER = 277/730 = 0,3795
Numero necessario per nuocere
ARI = 0,4957 − 0,3795 = 0,1162
NNH = 1/0,1162 = 8,606 → 9
Risposta
NNH = 9
Circa un paziente trattato su 9 presenta l’effetto collaterale a causa del trattamento.
2.Statistica per la pratica basata sulle evidenze
Risposta: n₊ = 2792
I valori predittivi dipendono dalla prevalenza: VPP = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) e VPN = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Con i rapporti di verosimiglianza: odds pre-test = p/(1 − p), odds post-test = odds pre-test × LR, probabilità = odds/(1 + odds). Per una popolazione di N, veri positivi = N·p·Se e falsi positivi = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), arrotondato per eccesso.
Con e senza la malattia
10 000·0,12 = 1200
10 000 − 1200 = 8800
Tutti i risultati positivi
TP = 1200·0,86 = 1032
FP = 8800·0,2 = 1760
n₊ = 1032 + 1760 = 2792
Risposta
n₊ = 2792
Dei 2792 positivi solo 1032 hanno la malattia (VPP 37%).
3.Statistica descrittiva
Risposta: s = 19,76
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = 2
Tavola della normale standard
Φ(2) = 0,9772
P = 0,9772
Risposta
P = 0,9772
5.Intervalli di confidenza
Risposta: limite inferiore = 4,119 mmHg
Intervallo per una differenza: stima ± valore critico × errore standard. Per due medie indipendenti con σ nota: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) e z. Con varianze uguali ma ignote: s_p combinata e t con n₁ + n₂ − 2 gradi di libertà. Per dati appaiati, lavora sulle differenze: d̄ ± t·s_d/√n.
Valore critico
df = 5, t = 2,015
Margine di errore
E = 2,015·1,8/√6 = 1,481
Intervallo
5,6 ± 1,481 → [4,119, 7,081]
Risposta
limite inferiore = 4,119 mmHg
6.Intervalli di confidenza
Risposta: σ = 6,669 µm
Intervallo per una varianza: (n − 1)s²/σ² ha una distribuzione χ² con n − 1 gradi di libertà. L’intervallo al 95% per σ² va da (n − 1)s² diviso il valore χ² superiore (2,5% al di sopra) a (n − 1)s² diviso il valore χ² inferiore (2,5% al di sotto); l’intervallo per σ è la radice quadrata di entrambi i limiti. Non è simmetrico rispetto a s.
Somma dei quadrati
(n − 1)s² = 10·3,8² = 144,4
Limiti per σ²
144,4/20,483 = 7,05
144,4/3,247 = 44,47
Limite per σ
σ = √44,47 = 6,669 µm
Risposta
σ = 6,669 µm
Intervallo al 95% per σ: [2,655, 6,669] µm.
7.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: p = 0,1336
Test d’ipotesi: la statistica test = (stima − valore sotto H₀)/(errore standard sotto H₀). Il p-value è la probabilità, supponendo vera H₀, di una statistica almeno tanto estrema quanto quella osservata: l’area in una coda per una H₁ unilaterale, il doppio dell’area della coda per una H₁ bilaterale. Rifiuta H₀ quando p ≤ α.
Statistica test
SE = σ/√n = 10/√100 = 1
z = (98,5 − 100)/1 = −1,5
Area della coda
Φ(1,5) = 0,9332
1 − Φ(1,5) = 0,0668
p-value
p = 2·0,0668 = 0,1336
Risposta
p = 0,1336
p > 0,05, quindi H₀ non viene rifiutata al livello del 5%.
8.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: β = 8,771 %
Potenza di un test: la potenza = 1 − β è la probabilità di rifiutare H₀ quando è falsa. Trova la soglia x̄c da μ₀ e z_α, poi calcola la probabilità di cadere oltre x̄c usando la media vera: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).