Disegna la tabella 2 × 2 e indica a, b, c e d prima di calcolare.
Leggi sensibilità e specificità lungo le colonne, i valori predittivi lungo le righe.
Per un’altra prevalenza, immagina 10 000 persone e riempi la tabella con Se, Sp e la prevalenza.
Per un rapporto di verosimiglianza, converti la probabilità in odds, moltiplica e riconverti.
Per uno studio clinico, trova prima EER e CER; poi RR = EER/CER, ARR = CER − EER e NNT = 1/ARR arrotondato per eccesso.
Statistica descrittiva
Media
x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z
z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale
68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ
Intervalli di confidenza
σ nota
x̄ ± z·σ/√n
σ incognita
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria
n = (z·σ/E)², rounded up
Metodo
Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.
Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Test z per una media
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t per una media
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%
rifiuta H0 se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza
x̄ ± z·σ/√n
Metodo
Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.
2Esercizi
1.Statistica per la pratica basata sulle evidenzeMedia
Esercizio di pratica (valori inventati, non indicazioni cliniche). Uno studio caso-controllo confronta 230 pazienti con una malattia (casi) e 250 persone senza di essa (controlli). La tabella mostra quanti in ciascun gruppo sono stati esposti a un fattore di rischio. Trova l’odds ratio OR per l’esposizione. Arrotonda a due cifre decimali.
a = 19b = 45c = 211d = 205
OR =
2.Statistica per la pratica basata sulle evidenzeDifficile
Esercizio di pratica (valori inventati, non indicazioni cliniche). Un paziente ha una probabilità pre-test del 5% per una malattia. Un test con sensibilità del 89% e specificità del 62% risulta positiva. Trova la probabilità post-test p′ della malattia in percentuale. Arrotonda a una cifra decimale.
pre-test 5%Se = 89%Sp = 62%positiva
p′ = %
3.Statistica descrittivaMedia
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 32, 43, 44, 19, 59.
n = 5
s =
4.Statistica descrittivaDifficile
I voti di un esame hanno distribuzione normale con media 50 e deviazione standard 5. Trova il punteggio z z di un voto pari a 55.
μ = 50σ = 5x = 55
z =
5.Intervalli di confidenzaMedia
Un campione di 10 elementi ha media 109,5 e deviazione standard s = 17. La popolazione è approssimativamente normale. Trova il margine di errore E di un intervallo di confidenza al 99 % per la media.
n = 10x̄ = 109,5s = 1799%t(9) = 3,25
E =
6.Intervalli di confidenzaDifficile
La deviazione standard della popolazione è 28. Quanto deve essere grande il campione n perché un intervallo di confidenza al 99 % per la media abbia un margine di errore non superiore a 3?
σ = 28E = 399%
n =
7.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia
Un campione di 100 studenti ha un punteggio medio di 496,4 e una deviazione standard campionaria di 20. Trova la statistica test t per H₀: μ = 500.
μ₀ = 500x̄ = 496,4s = 20n = 100
t =
8.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
Un test z unilaterale di H₀: μ = 100 contro H₁: μ > 100 viene eseguito con α = 0,01 su un campione di 100; la deviazione standard è nota e vale 20. In realtà la media è 103,6. Trova la probabilità di un errore di secondo tipo β in percentuale.
μ₀ = 100μ = 103,6σ = 20n = 100α = 0,01
β = %
3Soluzioni
1.Statistica per la pratica basata sulle evidenze
Risposta: OR = 0,41
Rapporti di verosimiglianza e misure di rischio: LR+ = sensibilità/(1 − specificità), LR− = (1 − sensibilità)/specificità. In uno studio clinico, EER e CER sono i tassi di eventi con e senza trattamento: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER e NNT = 1/ARR, arrotondato per eccesso. In uno studio caso-controllo si può usare solo l’odds ratio OR = ad/(bc). Un tasso di incidenza = nuovi casi/persone-tempo.
Odds di esposizione
casi: 19/211 = 0,09005
controlli: 45/205 = 0,2195
Odds ratio
OR = (19·205)/(45·211) = 0,4102 ≈ 0,41
Risposta
OR = 0,41
OR inferiore a 1: l’esposizione è meno comune tra i casi, il che suggerisce un effetto protettivo.
2.Statistica per la pratica basata sulle evidenze
Risposta: p′ = 11 %
I valori predittivi dipendono dalla prevalenza: VPP = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) e VPN = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Con i rapporti di verosimiglianza: odds pre-test = p/(1 − p), odds post-test = odds pre-test × LR, probabilità = odds/(1 + odds). Per una popolazione di N, veri positivi = N·p·Se e falsi positivi = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), arrotondato per eccesso.
Rapporto di verosimiglianza
LR+ = 0,89/(1 − 0,62) = 2,342
Odds pre-test
0,05/(1 − 0,05) = 0,05263
Odds post-test
0,05263·2,342 = 0,1233
Probabilità post-test
p′ = 0,1233/(1 + 0,1233) = 0,1097 ≈ 11%
Risposta
p′ = 11%
3.Statistica descrittiva
Risposta: s = 14,91
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = (55 − 50)/5 = 1
Risposta
z = 1
5.Intervalli di confidenza
Risposta: E = 17,47
Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.
Valore critico
df = n − 1 = 9, t = 3,25
Margine di errore
E = 3,25·17/√10 = 17,47
Risposta
E = 17,47
6.Intervalli di confidenza
Risposta: n = 579
Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.
Ricava n
n = (2,576·28/3)² = 578
Arrotonda per eccesso
La numerosità campionaria è un numero intero, e arrotondare per difetto renderebbe il margine troppo grande.
n = 579
Risposta
n = 579
7.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: t = −1,8
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).
Errore standard
SE = 20/√100 = 20/10 = 2
Statistica test
t = (496,4 − 500)/2 = −1,8
Risposta
t = −1,8
t0,025; df = 99 = 1,984
|t| < 1.984, quindi H₀ non viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).
8.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: β = 70,06 %
Potenza di un test: la potenza = 1 − β è la probabilità di rifiutare H₀ quando è falsa. Trova la soglia x̄c da μ₀ e z_α, poi calcola la probabilità di cadere oltre x̄c usando la media vera: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).