Disegna la tabella 2 × 2 e indica a, b, c e d prima di calcolare.
Leggi sensibilità e specificità lungo le colonne, i valori predittivi lungo le righe.
Per un’altra prevalenza, immagina 10 000 persone e riempi la tabella con Se, Sp e la prevalenza.
Per un rapporto di verosimiglianza, converti la probabilità in odds, moltiplica e riconverti.
Per uno studio clinico, trova prima EER e CER; poi RR = EER/CER, ARR = CER − EER e NNT = 1/ARR arrotondato per eccesso.
Statistica descrittiva
Media
x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z
z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale
68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ
Intervalli di confidenza
σ nota
x̄ ± z·σ/√n
σ incognita
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria
n = (z·σ/E)², rounded up
Metodo
Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.
Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Test z per una media
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t per una media
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%
rifiuta H0 se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza
x̄ ± z·σ/√n
Metodo
Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.
2Esercizi
1.Statistica per la pratica basata sulle evidenzeMedia
Esercizio di pratica (valori inventati, non indicazioni cliniche). In una coorte, gruppi di persone sono stati seguiti per periodi di durata diversa (vedi la tabella: numero di persone e anni di follow-up per ciascun gruppo). Durante il follow-up si sono verificati 52 nuovi casi. Trova il tasso di incidenza IR per 1000 persone-anno. Arrotonda a una cifra decimale.
500 × 2 anni80 × 1 anno52 nuovi casi
IR = per 1000 persone-anno
2.Statistica per la pratica basata sulle evidenzeDifficile
Esercizio di pratica (valori inventati, non indicazioni cliniche). Un paziente ha una probabilità pre-test del 50% per una malattia. Un test con sensibilità del 85% e specificità del 85% risulta positiva. Trova la probabilità post-test p′ della malattia in percentuale. Arrotonda a una cifra decimale.
pre-test 50%Se = 85%Sp = 85%positiva
p′ = %
3.Statistica descrittivaMedia
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 59, 38, 16, 51, 20, 15.
n = 6
s =
4.Statistica descrittivaDifficile
Una grandezza ha distribuzione normale con media 60 e deviazione standard 5. Quale proporzione P dei valori è inferiore a 65?
μ = 60σ = 5x = 65
P =
5.Intervalli di confidenzaMedia
La pressione arteriosa di 8 pazienti viene misurata prima e dopo un trattamento. Le differenze d = prima − dopo (mmHg) hanno media 9,7 e deviazione standard 1,6. Trova il margine di errore E dell’intervallo di confidenza al 90% per la differenza media.
n = 8d̄ = 9,7sd = 1,690%t(7) = 1,895
E = mmHg
6.Intervalli di confidenzaDifficile
La deviazione standard della popolazione è 38. Quanto deve essere grande il campione n perché un intervallo di confidenza al 99 % per la media abbia un margine di errore non superiore a 2,5?
σ = 38E = 2,599%
n =
7.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia
Un campione di 100 studenti ha un punteggio medio di 499,3 e una deviazione standard campionaria di 8. Trova la statistica test t per H₀: μ = 500.
μ₀ = 500x̄ = 499,3s = 8n = 100
t =
8.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
Un test z unilaterale con α = 0,05 deve rilevare uno spostamento della media di 2 unità con una potenza del 90%. La deviazione standard è 17. Trova la dimensione minima del campione n.
Rapporti di verosimiglianza e misure di rischio: LR+ = sensibilità/(1 − specificità), LR− = (1 − sensibilità)/specificità. In uno studio clinico, EER e CER sono i tassi di eventi con e senza trattamento: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER e NNT = 1/ARR, arrotondato per eccesso. In uno studio caso-controllo si può usare solo l’odds ratio OR = ad/(bc). Un tasso di incidenza = nuovi casi/persone-tempo.
Persone-anno
PY = 500·2 + 80·1 = 1080
Tasso di incidenza
IR = 52/1080·1000 = 48,1 per 1000 persone-anno
Risposta
IR = 48,1 per 1000 persone-anno
2.Statistica per la pratica basata sulle evidenze
Risposta: p′ = 85 %
I valori predittivi dipendono dalla prevalenza: VPP = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) e VPN = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Con i rapporti di verosimiglianza: odds pre-test = p/(1 − p), odds post-test = odds pre-test × LR, probabilità = odds/(1 + odds). Per una popolazione di N, veri positivi = N·p·Se e falsi positivi = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), arrotondato per eccesso.
Rapporto di verosimiglianza
LR+ = 0,85/(1 − 0,85) = 5,667
Odds pre-test
0,5/(1 − 0,5) = 1
Odds post-test
1·5,667 = 5,667
Probabilità post-test
p′ = 5,667/(1 + 5,667) = 0,85 = 85%
Risposta
p′ = 85%
3.Statistica descrittiva
Risposta: s = 19,01
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = 1
Tavola della normale standard
Φ(1) = 0,8413
P = 0,8413
Risposta
P = 0,8413
5.Intervalli di confidenza
Risposta: E = 1,072 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Valore critico
df = 7, t = 1,895
Margine di errore
E = 1,895·1,6/√8 = 1,072
Risposta
E = 1,072 mmHg
6.Intervalli di confidenza
Risposta: n = 1534
Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.
Ricava n
n = (2,576·38/2,5)² = 1533
Arrotonda per eccesso
La numerosità campionaria è un numero intero, e arrotondare per difetto renderebbe il margine troppo grande.
n = 1534
Risposta
n = 1534
7.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: t = −0,875
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).
Errore standard
SE = 8/√100 = 8/10 = 0,8
Statistica test
t = (499,3 − 500)/0,8 = −0,875
Risposta
t = −0,875
t0,025; df = 99 = 1,984
|t| < 1.984, quindi H₀ non viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).
8.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: n = 619
Dimensione del campione per un test: per rilevare uno spostamento reale δ con potenza 1 − β in un test z unilaterale al livello α, l’errore standard deve soddisfare δ = (z_α + z_β)·σ/√n, quindi n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², arrotondato per eccesso.