Disegna la tabella 2 × 2 e indica a, b, c e d prima di calcolare.
Leggi sensibilità e specificità lungo le colonne, i valori predittivi lungo le righe.
Per un’altra prevalenza, immagina 10 000 persone e riempi la tabella con Se, Sp e la prevalenza.
Per un rapporto di verosimiglianza, converti la probabilità in odds, moltiplica e riconverti.
Per uno studio clinico, trova prima EER e CER; poi RR = EER/CER, ARR = CER − EER e NNT = 1/ARR arrotondato per eccesso.
Statistica descrittiva
Media
x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z
z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale
68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ
Intervalli di confidenza
σ nota
x̄ ± z·σ/√n
σ incognita
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria
n = (z·σ/E)², rounded up
Metodo
Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.
Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Test z per una media
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t per una media
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%
rifiuta H0 se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza
x̄ ± z·σ/√n
Metodo
Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.
2Esercizi
1.Statistica per la pratica basata sulle evidenzeMedia
Esercizio di pratica (valori inventati, non indicazioni cliniche). In una coorte, gruppi di persone sono stati seguiti per periodi di durata diversa (vedi la tabella: numero di persone e anni di follow-up per ciascun gruppo). Durante il follow-up si sono verificati 168 nuovi casi. Trova il tasso di incidenza IR per 1000 persone-anno. Arrotonda a una cifra decimale.
300 × 4 anni480 × 4 anni200 × 1,5 anni168 nuovi casi
IR = per 1000 persone-anno
2.Statistica per la pratica basata sulle evidenzeDifficile
Esercizio di pratica (valori inventati, non indicazioni cliniche). Un test di screening ha una sensibilità del 82% e una specificità del 83%. Viene usato in una popolazione in cui la prevalenza è del 15%. Trova il valore predittivo negativo NPV in percentuale. Arrotonda a una cifra decimale.
Se = 82%Sp = 83%p = 15%
NPV = %
3.Statistica descrittivaMedia
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 40, 37, 28, 15, 28.
n = 5
s =
4.Statistica descrittivaDifficile
I voti di un esame hanno distribuzione normale con media 100 e deviazione standard 20. Trova il punteggio z z di un voto pari a 125.
μ = 100σ = 20x = 125
z =
5.Intervalli di confidenzaMedia
Un intervallo di confidenza al 95% per una media, basato su 50 osservazioni e σ nota, ha un margine di errore di 6,5. Qual è il margine di errore E₂ di un intervallo al 99% calcolato dagli stessi dati?
95%n₁ = 50E₁ = 6,599%
E₂ =
6.Intervalli di confidenzaDifficile
La deviazione standard della popolazione è 27. Quanto deve essere grande il campione n perché un intervallo di confidenza al 95 % per la media abbia un margine di errore non superiore a 0,5?
σ = 27E = 0,595%
n =
7.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia
Un campione di 49 studenti ha un punteggio medio di 199,4 e una deviazione standard campionaria di 5. Trova la statistica test t per H₀: μ = 200.
μ₀ = 200x̄ = 199,4s = 5n = 49
t =
8.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
Quanto deve essere grande un campione perché l'intervallo di confidenza al 99 % per una media abbia un margine di errore di al massimo 3? La deviazione standard è 15. Trova la dimensione minima del campione n.
σ = 15E = 399%
n =
3Soluzioni
1.Statistica per la pratica basata sulle evidenze
Risposta: IR = 49,1 per 1000 persone-anno
Rapporti di verosimiglianza e misure di rischio: LR+ = sensibilità/(1 − specificità), LR− = (1 − sensibilità)/specificità. In uno studio clinico, EER e CER sono i tassi di eventi con e senza trattamento: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER e NNT = 1/ARR, arrotondato per eccesso. In uno studio caso-controllo si può usare solo l’odds ratio OR = ad/(bc). Un tasso di incidenza = nuovi casi/persone-tempo.
Persone-anno
PY = 300·4 + 480·4 + 200·1,5 = 3420
Tasso di incidenza
IR = 168/3420·1000 = 49,1 per 1000 persone-anno
Risposta
IR = 49,1 per 1000 persone-anno
2.Statistica per la pratica basata sulle evidenze
Risposta: NPV = 96,3 %
I valori predittivi dipendono dalla prevalenza: VPP = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) e VPN = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Con i rapporti di verosimiglianza: odds pre-test = p/(1 − p), odds post-test = odds pre-test × LR, probabilità = odds/(1 + odds). Per una popolazione di N, veri positivi = N·p·Se e falsi positivi = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), arrotondato per eccesso.
Veri e falsi negativi (per persona)
Sp·(1 − p) = 0,83·0,85 = 0,7055
(1 − Se)·p = 0,18·0,15 = 0,027
Valore predittivo negativo
NPV = 0,7055/(0,7055 + 0,027) = 0,9631 ≈ 96,3%
Risposta
NPV = 96,3%
3.Statistica descrittiva
Risposta: s = 9,762
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = (125 − 100)/20 = 1,25
Risposta
z = 1,25
5.Intervalli di confidenza
Risposta: E₂ = 8,543
Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.
Rapporto dei margini
E₂/E₁ = (2,576/1,96)·√(50/50) = 1,314
Nuovo margine
E₂ = 6,5·1,314 = 8,543
Risposta
E₂ = 8,543
6.Intervalli di confidenza
Risposta: n = 11203
Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.
Ricava n
n = (1,96·27/0,5)² = 11202
Arrotonda per eccesso
La numerosità campionaria è un numero intero, e arrotondare per difetto renderebbe il margine troppo grande.
n = 11203
Risposta
n = 11203
7.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: t = −0,84
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).
Errore standard
SE = 5/√49 = 5/7 = 0,7143
Statistica test
t = (199,4 − 200)/0,7143 = −0,84
Risposta
t = −0,84
t0,025; df = 48 = 2,011
|t| < 2.011, quindi H₀ non viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).
8.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: n = 166
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).