Disegna la tabella 2 × 2 e indica a, b, c e d prima di calcolare.
Leggi sensibilità e specificità lungo le colonne, i valori predittivi lungo le righe.
Per un’altra prevalenza, immagina 10 000 persone e riempi la tabella con Se, Sp e la prevalenza.
Per un rapporto di verosimiglianza, converti la probabilità in odds, moltiplica e riconverti.
Per uno studio clinico, trova prima EER e CER; poi RR = EER/CER, ARR = CER − EER e NNT = 1/ARR arrotondato per eccesso.
Statistica descrittiva
Media
x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z
z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale
68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ
Intervalli di confidenza
σ nota
x̄ ± z·σ/√n
σ incognita
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria
n = (z·σ/E)², rounded up
Metodo
Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.
Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Test z per una media
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t per una media
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%
rifiuta H0 se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza
x̄ ± z·σ/√n
Metodo
Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.
2Esercizi
1.Statistica per la pratica basata sulle evidenzeMedia
Esercizio di pratica (valori inventati, non indicazioni cliniche). Uno studio caso-controllo confronta 370 pazienti con una malattia (casi) e 260 persone senza di essa (controlli). La tabella mostra quanti in ciascun gruppo sono stati esposti a un fattore di rischio. Trova l’odds ratio OR per l’esposizione. Arrotonda a due cifre decimali.
a = 221b = 70c = 149d = 190
OR =
2.Statistica per la pratica basata sulle evidenzeDifficile
Esercizio di pratica (valori inventati, non indicazioni cliniche). Un test di screening ha una sensibilità del 73% e una specificità del 87%. Viene usato in una popolazione in cui la prevalenza è del 0,5%. Trova il valore predittivo positivo PPV in percentuale. Arrotonda a una cifra decimale.
Se = 73%Sp = 87%p = 0,5%
PPV = %
3.Statistica descrittivaMedia
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 43, 45, 31, 26, 12, 28, 47.
n = 7
s =
4.Statistica descrittivaDifficile
Una grandezza ha distribuzione normale con media 170 e deviazione standard 12. Quale proporzione P dei valori è superiore a 146?
μ = 170σ = 12x = 146
P =
5.Intervalli di confidenzaMedia
Un campione di 8 elementi ha media 71 e deviazione standard s = 12. La popolazione è approssimativamente normale. Trova il margine di errore E di un intervallo di confidenza al 99 % per la media.
n = 8x̄ = 71s = 1299%t(7) = 3,499
E =
6.Intervalli di confidenzaDifficile
Si provano due fertilizzanti. Gruppo di parcelle 1: 6 parcelle, resa media 88 kg, deviazione standard 2,5 kg. Gruppo di parcelle 2: 11 parcelle, media 87,5 kg, deviazione standard 2 kg. Supponi varianze uguali (t combinato, df = n₁ + n₂ − 2). Trova il limite superiore dell’intervallo di confidenza al 99% per μ₁ − μ₂.
Un campione di 64 studenti ha un punteggio medio di 200,7 e una deviazione standard campionaria di 8. Trova la statistica test t per H₀: μ = 200.
μ₀ = 200x̄ = 200,7s = 8n = 64
t =
8.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
In una sperimentazione, 16 pazienti su 80 con il trattamento A guariscono, e 18 su 120 con il trattamento B. Usando la proporzione combinata, trova la statistica test z per H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 16n₁ = 80x₂ = 18n₂ = 120
z =
3Soluzioni
1.Statistica per la pratica basata sulle evidenze
Risposta: OR = 4,03
Rapporti di verosimiglianza e misure di rischio: LR+ = sensibilità/(1 − specificità), LR− = (1 − sensibilità)/specificità. In uno studio clinico, EER e CER sono i tassi di eventi con e senza trattamento: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER e NNT = 1/ARR, arrotondato per eccesso. In uno studio caso-controllo si può usare solo l’odds ratio OR = ad/(bc). Un tasso di incidenza = nuovi casi/persone-tempo.
Odds di esposizione
casi: 221/149 = 1,483
controlli: 70/190 = 0,3684
Odds ratio
OR = (221·190)/(70·149) = 4,026 ≈ 4,03
Risposta
OR = 4,03
OR superiore a 1: l’esposizione è più comune tra i casi.
2.Statistica per la pratica basata sulle evidenze
Risposta: PPV = 2,7 %
I valori predittivi dipendono dalla prevalenza: VPP = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) e VPN = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Con i rapporti di verosimiglianza: odds pre-test = p/(1 − p), odds post-test = odds pre-test × LR, probabilità = odds/(1 + odds). Per una popolazione di N, veri positivi = N·p·Se e falsi positivi = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), arrotondato per eccesso.
Veri e falsi positivi (per persona)
Se·p = 0,73·0,005 = 0,00365
(1 − Sp)·(1 − p) = 0,13·0,995 = 0,1293
Valore predittivo positivo
PPV = 0,00365/(0,00365 + 0,1293) = 0,02744 ≈ 2,7%
Risposta
PPV = 2,7%
Quanto più bassa è la prevalenza, tanto più basso è il VPP dello stesso test.
3.Statistica descrittiva
Risposta: s = 12,64
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = −2
Tavola della normale standard
Φ(−2) = 0,02275
P = 1 − 0,02275 = 0,9772
Risposta
P = 0,9772
5.Intervalli di confidenza
Risposta: E = 14,84
Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.
Valore critico
df = n − 1 = 7, t = 3,499
Margine di errore
E = 3,499·12/√8 = 14,84
Risposta
E = 14,84
6.Intervalli di confidenza
Risposta: limite superiore = 3,76 kg
Intervallo per una differenza: stima ± valore critico × errore standard. Per due medie indipendenti con σ nota: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) e z. Con varianze uguali ma ignote: s_p combinata e t con n₁ + n₂ − 2 gradi di libertà. Per dati appaiati, lavora sulle differenze: d̄ ± t·s_d/√n.
Deviazione standard combinata
sp² = (5·2,5² + 10·2²)/15 = 4,75
sp = 2,179
Margine di errore
E = 2,947·2,179·√(1/6 + 1/11) = 3,26
Intervallo
0,5 ± 3,26 → [−2,76, 3,76]
Risposta
limite superiore = 3,76 kg
7.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: t = 0,7
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).
Errore standard
SE = 8/√64 = 8/8 = 1
Statistica test
t = (200,7 − 200)/1 = 0,7
Risposta
t = 0,7
t0,025; df = 63 = 1,998
|t| < 1.998, quindi H₀ non viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).
8.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: z = 0,9222
Test d’ipotesi: la statistica test = (stima − valore sotto H₀)/(errore standard sotto H₀). Il p-value è la probabilità, supponendo vera H₀, di una statistica almeno tanto estrema quanto quella osservata: l’area in una coda per una H₁ unilaterale, il doppio dell’area della coda per una H₁ bilaterale. Rifiuta H₀ quando p ≤ α.
Proporzioni campionarie
p̂₁ = 16/80 = 0,2
p̂₂ = 18/120 = 0,15
p̂ = 34/200 = 0,17
Errore standard sotto H₀
SE = √(0,17·0,83·(1/80 + 1/120)) = 0,05422
Statistica test
z = (0,2 − 0,15)/0,05422 = 0,9222
Risposta
z = 0,9222
|z| < 1.96, quindi H₀ non viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).