Disegna la tabella 2 × 2 e indica a, b, c e d prima di calcolare.
Leggi sensibilità e specificità lungo le colonne, i valori predittivi lungo le righe.
Per un’altra prevalenza, immagina 10 000 persone e riempi la tabella con Se, Sp e la prevalenza.
Per un rapporto di verosimiglianza, converti la probabilità in odds, moltiplica e riconverti.
Per uno studio clinico, trova prima EER e CER; poi RR = EER/CER, ARR = CER − EER e NNT = 1/ARR arrotondato per eccesso.
Statistica descrittiva
Media
x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z
z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale
68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ
Intervalli di confidenza
σ nota
x̄ ± z·σ/√n
σ incognita
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria
n = (z·σ/E)², rounded up
Metodo
Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.
Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Test z per una media
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t per una media
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%
rifiuta H0 se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza
x̄ ± z·σ/√n
Metodo
Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.
2Esercizi
1.Statistica per la pratica basata sulle evidenzeMedia
Esercizio di pratica (valori inventati, non indicazioni cliniche). In uno studio di coorte, le persone esposte hanno contribuito con 5200 persone-anno e 16 nuovi casi, e quelle non esposte con 4500 persone-anno e 27 nuovi casi. Trova il rapporto dei tassi di incidenza IRR (esposti rispetto a non esposti). Arrotonda a due cifre decimali.
esposti: 16/5200 PYnon esposti: 27/4500 PY
IRR =
2.Statistica per la pratica basata sulle evidenzeDifficile
Esercizio di pratica (valori inventati, non indicazioni cliniche). Un test di screening ha una sensibilità del 90% e una specificità del 89%. Viene usato in una popolazione in cui la prevalenza è del 1%. Trova il valore predittivo negativo NPV in percentuale. Arrotonda a una cifra decimale.
Se = 90%Sp = 89%p = 1%
NPV = %
3.Statistica descrittivaMedia
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 13, 55, 47, 41, 43, 15.
n = 6
s =
4.Statistica descrittivaDifficile
I voti di un esame hanno distribuzione normale con media 50 e deviazione standard 20. Trova il punteggio z z di un voto pari a 34.
μ = 50σ = 20x = 34
z =
5.Intervalli di confidenzaMedia
La pressione arteriosa di 13 pazienti viene misurata prima e dopo un trattamento. Le differenze d = prima − dopo (mmHg) hanno media 4,6 e deviazione standard 1. Trova il margine di errore E dell’intervallo di confidenza al 99% per la differenza media.
n = 13d̄ = 4,6sd = 199%t(12) = 3,055
E = mmHg
6.Intervalli di confidenzaDifficile
La deviazione standard della popolazione è 32. Quanto deve essere grande il campione n perché un intervallo di confidenza al 90 % per la media abbia un margine di errore non superiore a 2?
σ = 32E = 290%
n =
7.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia
Un campione di 64 studenti ha un punteggio medio di 80,44 e una deviazione standard campionaria di 15. Trova la statistica test t per H₀: μ = 75.
μ₀ = 75x̄ = 80,44s = 15n = 64
t =
8.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
Un campione di 64 misure ha media 199,3. La deviazione standard della popolazione è 12. Trova il limite inferiore L dell'intervallo di confidenza al 99 % per la media.
x̄ = 199,3σ = 12n = 6499%
L =
3Soluzioni
1.Statistica per la pratica basata sulle evidenze
Risposta: IRR = 0,51
Rapporti di verosimiglianza e misure di rischio: LR+ = sensibilità/(1 − specificità), LR− = (1 − sensibilità)/specificità. In uno studio clinico, EER e CER sono i tassi di eventi con e senza trattamento: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER e NNT = 1/ARR, arrotondato per eccesso. In uno studio caso-controllo si può usare solo l’odds ratio OR = ad/(bc). Un tasso di incidenza = nuovi casi/persone-tempo.
Tassi di incidenza
esposti: 16/5200 = 3,077 per 1000 persone-anno
non esposti: 27/4500 = 6 per 1000 persone-anno
Rapporto dei tassi
IRR = 3,077/6 = 0,5128 ≈ 0,51
Risposta
IRR = 0,51
2.Statistica per la pratica basata sulle evidenze
Risposta: NPV = 99,9 %
I valori predittivi dipendono dalla prevalenza: VPP = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) e VPN = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Con i rapporti di verosimiglianza: odds pre-test = p/(1 − p), odds post-test = odds pre-test × LR, probabilità = odds/(1 + odds). Per una popolazione di N, veri positivi = N·p·Se e falsi positivi = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), arrotondato per eccesso.
Veri e falsi negativi (per persona)
Sp·(1 − p) = 0,89·0,99 = 0,8811
(1 − Se)·p = 0,1·0,01 = 0,001
Valore predittivo negativo
NPV = 0,8811/(0,8811 + 0,001) = 0,9989 ≈ 99,9%
Risposta
NPV = 99,9%
3.Statistica descrittiva
Risposta: s = 17,47
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = (34 − 50)/20 = −0,8
Risposta
z = −0,8
5.Intervalli di confidenza
Risposta: E = 0,8473 mmHg
Intervallo per una differenza: stima ± valore critico × errore standard. Per due medie indipendenti con σ nota: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) e z. Con varianze uguali ma ignote: s_p combinata e t con n₁ + n₂ − 2 gradi di libertà. Per dati appaiati, lavora sulle differenze: d̄ ± t·s_d/√n.
Valore critico
df = 12, t = 3,055
Margine di errore
E = 3,055·1/√13 = 0,8473
Risposta
E = 0,8473 mmHg
6.Intervalli di confidenza
Risposta: n = 693
Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.
Ricava n
n = (1,645·32/2)² = 692,7
Arrotonda per eccesso
La numerosità campionaria è un numero intero, e arrotondare per difetto renderebbe il margine troppo grande.
n = 693
Risposta
n = 693
7.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: t = 2,901
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).
Errore standard
SE = 15/√64 = 15/8 = 1,875
Statistica test
t = (80,44 − 75)/1,875 = 2,901
Risposta
t = 2,901
t0,025; df = 63 = 1,998
|t| > 1,998, quindi H₀ viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).
8.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: L = 195,4
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).