Disegna la tabella 2 × 2 e indica a, b, c e d prima di calcolare.
Leggi sensibilità e specificità lungo le colonne, i valori predittivi lungo le righe.
Per un’altra prevalenza, immagina 10 000 persone e riempi la tabella con Se, Sp e la prevalenza.
Per un rapporto di verosimiglianza, converti la probabilità in odds, moltiplica e riconverti.
Per uno studio clinico, trova prima EER e CER; poi RR = EER/CER, ARR = CER − EER e NNT = 1/ARR arrotondato per eccesso.
Statistica descrittiva
Media
x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z
z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale
68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ
Intervalli di confidenza
σ nota
x̄ ± z·σ/√n
σ incognita
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria
n = (z·σ/E)², rounded up
Metodo
Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.
Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Test z per una media
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t per una media
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%
rifiuta H0 se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza
x̄ ± z·σ/√n
Metodo
Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.
2Esercizi
1.Statistica per la pratica basata sulle evidenzeMedia
Esercizio di pratica (valori inventati, non indicazioni cliniche). Uno studio caso-controllo confronta 300 pazienti con una malattia (casi) e 60 persone senza di essa (controlli). La tabella mostra quanti in ciascun gruppo sono stati esposti a un fattore di rischio. Trova l’odds ratio OR per l’esposizione. Arrotonda a due cifre decimali.
a = 61b = 23c = 239d = 37
OR =
2.Statistica per la pratica basata sulle evidenzeDifficile
Esercizio di pratica (valori inventati, non indicazioni cliniche). 10 000 persone vengono sottoposte a screening con un test di sensibilità 70% e specificità 94%. La prevalenza della malattia è del 14%. Quanti risultati falsi positivi FP ci si aspetta?
N = 10 000p = 14%Se = 70%Sp = 94%
FP =
3.Statistica descrittivaMedia
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 22, 16, 47, 10, 32, 27, 58.
n = 7
s =
4.Statistica descrittivaDifficile
Una grandezza ha distribuzione normale con media 170 e deviazione standard 5. Quale proporzione P dei valori è superiore a 180?
μ = 170σ = 5x = 180
P =
5.Intervalli di confidenzaMedia
Un campione di 15 elementi ha media 93 e deviazione standard s = 1,5. La popolazione è approssimativamente normale. Trova il margine di errore E di un intervallo di confidenza al 99 % per la media.
n = 15x̄ = 93s = 1,599%t(14) = 2,977
E =
6.Intervalli di confidenzaDifficile
La deviazione standard della popolazione è 6. Quanto deve essere grande il campione n perché un intervallo di confidenza al 99 % per la media abbia un margine di errore non superiore a 2?
σ = 6E = 299%
n =
7.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia
Si confrontano due metodi didattici. Gruppo 1: 5 studenti, punteggio medio 115, deviazione standard 3. Gruppo 2: 17 studenti, punteggio medio 120,8, deviazione standard 4,5. Supponi varianze della popolazione uguali e usa il test t a due campioni con varianza combinata. Trova la statistica test t per H₀: μ₁ = μ₂, prendendo la differenza come x̄₁ − x̄₂ (gruppo 1 meno gruppo 2).
n₁ = 5x̄₁ = 115s₁ = 3n₂ = 17x̄₂ = 120,8s₂ = 4,5
t =
8.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
Un campione di 100 misure ha media 49,8. La deviazione standard della popolazione è 4. Trova il limite inferiore L dell'intervallo di confidenza al 95 % per la media.
x̄ = 49,8σ = 4n = 10095%
L =
3Soluzioni
1.Statistica per la pratica basata sulle evidenze
Risposta: OR = 0,41
Rapporti di verosimiglianza e misure di rischio: LR+ = sensibilità/(1 − specificità), LR− = (1 − sensibilità)/specificità. In uno studio clinico, EER e CER sono i tassi di eventi con e senza trattamento: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER e NNT = 1/ARR, arrotondato per eccesso. In uno studio caso-controllo si può usare solo l’odds ratio OR = ad/(bc). Un tasso di incidenza = nuovi casi/persone-tempo.
Odds di esposizione
casi: 61/239 = 0,2552
controlli: 23/37 = 0,6216
Odds ratio
OR = (61·37)/(23·239) = 0,4106 ≈ 0,41
Risposta
OR = 0,41
OR inferiore a 1: l’esposizione è meno comune tra i casi, il che suggerisce un effetto protettivo.
2.Statistica per la pratica basata sulle evidenze
Risposta: FP = 516
I valori predittivi dipendono dalla prevalenza: VPP = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) e VPN = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Con i rapporti di verosimiglianza: odds pre-test = p/(1 − p), odds post-test = odds pre-test × LR, probabilità = odds/(1 + odds). Per una popolazione di N, veri positivi = N·p·Se e falsi positivi = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), arrotondato per eccesso.
Con e senza la malattia
10 000·0,14 = 1400
10 000 − 1400 = 8600
Falsi positivi
FP = 8600·0,06 = 516
Risposta
FP = 516
Dei 1496 positivi solo 980 hanno la malattia (VPP 65,5%).
3.Statistica descrittiva
Risposta: s = 17,06
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = 2
Tavola della normale standard
Φ(2) = 0,9772
P = 1 − 0,9772 = 0,02275
Risposta
P = 0,02275
5.Intervalli di confidenza
Risposta: E = 1,153
Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.
Valore critico
df = n − 1 = 14, t = 2,977
Margine di errore
E = 2,977·1,5/√15 = 1,153
Risposta
E = 1,153
6.Intervalli di confidenza
Risposta: n = 60
Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.
Ricava n
n = (2,576·6/2)² = 59,72
Arrotonda per eccesso
La numerosità campionaria è un numero intero, e arrotondare per difetto renderebbe il margine troppo grande.
n = 60
Risposta
n = 60
7.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: t = −2,687
Test d’ipotesi: la statistica test = (stima − valore sotto H₀)/(errore standard sotto H₀). Il p-value è la probabilità, supponendo vera H₀, di una statistica almeno tanto estrema quanto quella osservata: l’area in una coda per una H₁ unilaterale, il doppio dell’area della coda per una H₁ bilaterale. Rifiuta H₀ quando p ≤ α.
Varianza combinata
sp² = (4·3² + 16·4,5²)/20 = 18
sp = 4,243
Errore standard
SE = 4,243·√(1/5 + 1/17) = 2,158
Statistica test
t = (115 − 120,8)/2,158 = −2,687
Risposta
t = −2,687
Con df = 20, il valore critico bilaterale al 5% è 2,086; |t| è maggiore, quindi H₀ viene rifiutata.
8.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: L = 49,02
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).