Disegna la tabella 2 × 2 e indica a, b, c e d prima di calcolare.
Leggi sensibilità e specificità lungo le colonne, i valori predittivi lungo le righe.
Per un’altra prevalenza, immagina 10 000 persone e riempi la tabella con Se, Sp e la prevalenza.
Per un rapporto di verosimiglianza, converti la probabilità in odds, moltiplica e riconverti.
Per uno studio clinico, trova prima EER e CER; poi RR = EER/CER, ARR = CER − EER e NNT = 1/ARR arrotondato per eccesso.
Statistica descrittiva
Media
x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z
z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale
68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ
Intervalli di confidenza
σ nota
x̄ ± z·σ/√n
σ incognita
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria
n = (z·σ/E)², rounded up
Metodo
Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.
Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Test z per una media
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t per una media
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%
rifiuta H0 se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza
x̄ ± z·σ/√n
Metodo
Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.
2Esercizi
1.Statistica per la pratica basata sulle evidenzeMedia
Esercizio di pratica (valori inventati, non indicazioni cliniche). Un test ha una sensibilità del 91% e una specificità del 74%. Trova il rapporto di verosimiglianza negativo LR−. Arrotonda a due cifre decimali.
Se = 91%Sp = 74%
LR− =
2.Statistica per la pratica basata sulle evidenzeDifficile
Esercizio di pratica (valori inventati, non indicazioni cliniche). Un paziente ha una probabilità pre-test del 20% per una malattia. Un test con sensibilità del 77% e specificità del 60% risulta negativa. Trova la probabilità post-test p′ della malattia in percentuale. Arrotonda a una cifra decimale.
pre-test 20%Se = 77%Sp = 60%negativa
p′ = %
3.Statistica descrittivaMedia
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 58, 34, 31, 40, 33.
n = 5
s =
4.Statistica descrittivaDifficile
I voti di un esame hanno distribuzione normale con media 100 e deviazione standard 5. Trova il punteggio z z di un voto pari a 105.
μ = 100σ = 5x = 105
z =
5.Intervalli di confidenzaMedia
Si confronta la durata della batteria di due modelli di telefono. Modello 1: 100 telefoni, media 120,5 h, deviazione standard nota 3 h. Modello 2: 100 telefoni, media 110,5 h, deviazione standard nota 17 h. Trova il margine di errore E dell’intervallo di confidenza al 90% per μ₁ − μ₂.
Si provano due fertilizzanti. Gruppo di parcelle 1: 8 parcelle, resa media 10,5 kg, deviazione standard 2 kg. Gruppo di parcelle 2: 8 parcelle, media 15,5 kg, deviazione standard 3,5 kg. Supponi varianze uguali (t combinato, df = n₁ + n₂ − 2). Trova il limite inferiore dell’intervallo di confidenza al 99% per μ₁ − μ₂.
Un campione di 16 studenti ha un punteggio medio di 117,3 e una deviazione standard campionaria di 5. Trova la statistica test t per H₀: μ = 120.
μ₀ = 120x̄ = 117,3s = 5n = 16
t =
8.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
In una sperimentazione, 50 pazienti su 100 con il trattamento A guariscono, e 67 su 120 con il trattamento B. Usando la proporzione combinata, trova la statistica test z per H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 50n₁ = 100x₂ = 67n₂ = 120
z =
3Soluzioni
1.Statistica per la pratica basata sulle evidenze
Risposta: LR− = 0,12
Rapporti di verosimiglianza e misure di rischio: LR+ = sensibilità/(1 − specificità), LR− = (1 − sensibilità)/specificità. In uno studio clinico, EER e CER sono i tassi di eventi con e senza trattamento: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER e NNT = 1/ARR, arrotondato per eccesso. In uno studio caso-controllo si può usare solo l’odds ratio OR = ad/(bc). Un tasso di incidenza = nuovi casi/persone-tempo.
Rapporto di verosimiglianza negativo
LR− = (1 − 0,91)/0,74 = 0,1216 ≈ 0,12
Risposta
LR− = 0,12
2.Statistica per la pratica basata sulle evidenze
Risposta: p′ = 8,7 %
I valori predittivi dipendono dalla prevalenza: VPP = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) e VPN = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Con i rapporti di verosimiglianza: odds pre-test = p/(1 − p), odds post-test = odds pre-test × LR, probabilità = odds/(1 + odds). Per una popolazione di N, veri positivi = N·p·Se e falsi positivi = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), arrotondato per eccesso.
Rapporto di verosimiglianza
LR− = (1 − 0,77)/0,6 = 0,3833
Odds pre-test
0,2/(1 − 0,2) = 0,25
Odds post-test
0,25·0,3833 = 0,09583
Probabilità post-test
p′ = 0,09583/(1 + 0,09583) = 0,08745 ≈ 8,7%
Risposta
p′ = 8,7%
3.Statistica descrittiva
Risposta: s = 11,03
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = (105 − 100)/5 = 1
Risposta
z = 1
5.Intervalli di confidenza
Risposta: E = 2,84 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Stima puntuale
x̄₁ − x̄₂ = 120,5 − 110,5 = 10
Errore standard
SE = √(3²/100 + 17²/100) = 1,726
Margine di errore
E = 1,645·1,726 = 2,84
Risposta
E = 2,84 h
L’intervallo non contiene 0, quindi le medie differiscono in modo significativo.
6.Intervalli di confidenza
Risposta: limite inferiore = −9,243 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Deviazione standard combinata
sp² = (7·2² + 7·3,5²)/14 = 8,125
sp = 2,85
Margine di errore
E = 2,977·2,85·√(1/8 + 1/8) = 4,243
Intervallo
−5 ± 4,243 → [−9,243, −0,7571]
Risposta
limite inferiore = −9,243 kg
7.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: t = −2,16
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).
Errore standard
SE = 5/√16 = 5/4 = 1,25
Statistica test
t = (117,3 − 120)/1,25 = −2,16
Risposta
t = −2,16
t0,025; df = 15 = 2,131
|t| > 2,131, quindi H₀ viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).
8.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: z = −0,8634
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Proporzioni campionarie
p̂₁ = 50/100 = 0,5
p̂₂ = 67/120 = 0,5583
p̂ = 117/220 = 0,5318
Errore standard sotto H₀
SE = √(0,5318·0,4682·(1/100 + 1/120)) = 0,06756
Statistica test
z = (0,5 − 0,5583)/0,06756 = −0,8634
Risposta
z = −0,8634
|z| < 1.96, quindi H₀ non viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).