Disegna la tabella 2 × 2 e indica a, b, c e d prima di calcolare.
Leggi sensibilità e specificità lungo le colonne, i valori predittivi lungo le righe.
Per un’altra prevalenza, immagina 10 000 persone e riempi la tabella con Se, Sp e la prevalenza.
Per un rapporto di verosimiglianza, converti la probabilità in odds, moltiplica e riconverti.
Per uno studio clinico, trova prima EER e CER; poi RR = EER/CER, ARR = CER − EER e NNT = 1/ARR arrotondato per eccesso.
Statistica descrittiva
Media
x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z
z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale
68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ
Intervalli di confidenza
σ nota
x̄ ± z·σ/√n
σ incognita
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria
n = (z·σ/E)², rounded up
Metodo
Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.
Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Test z per una media
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t per una media
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%
rifiuta H0 se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza
x̄ ± z·σ/√n
Metodo
Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.
2Esercizi
1.Statistica per la pratica basata sulle evidenzeMedia
Esercizio di pratica (valori inventati, non indicazioni cliniche). Un nuovo test è stato confrontato con lo standard di riferimento in uno studio (vedi la tabella 2 × 2). Trova il rapporto di verosimiglianza negativo LR−. Arrotonda a due cifre decimali.
a = 211b = 624c = 119d = 936
LR− =
2.Statistica per la pratica basata sulle evidenzeDifficile
Esercizio di pratica (valori inventati, non indicazioni cliniche). Un trattamento riduce il rischio di un evento del 38% in termini relativi (RRR = 38%). In un gruppo di pazienti il rischio senza trattamento (CER) è del 36% in cinque anni. Trova il numero necessario da trattare NNT per cinque anni per prevenire un evento. Arrotonda per eccesso a un numero intero di pazienti.
RRR = 38%CER = 36%
NNT =
3.Statistica descrittivaMedia
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 60, 32, 31, 40, 60, 16.
n = 6
s =
4.Statistica descrittivaDifficile
Una grandezza ha distribuzione normale con media 500 e deviazione standard 25. Quale proporzione P dei valori è superiore a 462,5?
μ = 500σ = 25x = 462,5
P =
5.Intervalli di confidenzaMedia
Si confronta la durata della batteria di due modelli di telefono. Modello 1: 80 telefoni, media 109,5 h, deviazione standard nota 16 h. Modello 2: 40 telefoni, media 109 h, deviazione standard nota 19 h. Trova il margine di errore E dell’intervallo di confidenza al 99% per μ₁ − μ₂.
La deviazione standard della popolazione è 21. Quanto deve essere grande il campione n perché un intervallo di confidenza al 90 % per la media abbia un margine di errore non superiore a 1?
σ = 21E = 190%
n =
7.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia
10 dipendenti svolgono un test di dattilografia prima e dopo un corso di formazione. Per ogni persona si registra la differenza d = dopo − prima (parole al minuto). La differenza media è 2,2 e la deviazione standard delle differenze è 8,7. Trova la statistica test per dati appaiati t per H₀: μd = 0.
n = 10d̄ = 2,2sd = 8,7
t =
8.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
In una sperimentazione, 38 pazienti su 150 con il trattamento A guariscono, e 63 su 300 con il trattamento B. Usando la proporzione combinata, trova la statistica test z per H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 38n₁ = 150x₂ = 63n₂ = 300
z =
3Soluzioni
1.Statistica per la pratica basata sulle evidenze
Risposta: LR− = 0,6
Rapporti di verosimiglianza e misure di rischio: LR+ = sensibilità/(1 − specificità), LR− = (1 − sensibilità)/specificità. In uno studio clinico, EER e CER sono i tassi di eventi con e senza trattamento: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER e NNT = 1/ARR, arrotondato per eccesso. In uno studio caso-controllo si può usare solo l’odds ratio OR = ad/(bc). Un tasso di incidenza = nuovi casi/persone-tempo.
Sensibilità e specificità
Se = 211/330 = 0,6394
Sp = 936/1560 = 0,6
Rapporto di verosimiglianza negativo
LR− = (1 − 0,6394)/0,6 = 0,601 ≈ 0,6
Risposta
LR− = 0,6
2.Statistica per la pratica basata sulle evidenze
Risposta: NNT = 8
I valori predittivi dipendono dalla prevalenza: VPP = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) e VPN = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Con i rapporti di verosimiglianza: odds pre-test = p/(1 − p), odds post-test = odds pre-test × LR, probabilità = odds/(1 + odds). Per una popolazione di N, veri positivi = N·p·Se e falsi positivi = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), arrotondato per eccesso.
Riduzione assoluta del rischio
ARR = 0,36·0,38 = 0,1368
Numero necessario da trattare
NNT = 1/0,1368 = 7,31 → 8
Risposta
NNT = 8
Lo stesso effetto relativo dà un NNT più piccolo quando il rischio di base è più alto.
3.Statistica descrittiva
Risposta: s = 17,44
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = −1,5
Tavola della normale standard
Φ(−1,5) = 0,06681
P = 1 − 0,06681 = 0,9332
Risposta
P = 0,9332
5.Intervalli di confidenza
Risposta: E = 9,007 h
Intervallo per una differenza: stima ± valore critico × errore standard. Per due medie indipendenti con σ nota: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) e z. Con varianze uguali ma ignote: s_p combinata e t con n₁ + n₂ − 2 gradi di libertà. Per dati appaiati, lavora sulle differenze: d̄ ± t·s_d/√n.
Stima puntuale
x̄₁ − x̄₂ = 109,5 − 109 = 0,5
Errore standard
SE = √(16²/80 + 19²/40) = 3,496
Margine di errore
E = 2,576·3,496 = 9,007
Risposta
E = 9,007 h
L’intervallo contiene 0, quindi i dati non mostrano una differenza significativa.
6.Intervalli di confidenza
Risposta: n = 1194
Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.
Ricava n
n = (1,645·21/1)² = 1193
Arrotonda per eccesso
La numerosità campionaria è un numero intero, e arrotondare per difetto renderebbe il margine troppo grande.
n = 1194
Risposta
n = 1194
7.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: t = 0,7997
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).
Errore standard della differenza media
SE = 8,7/√10 = 2,751
Statistica test
t = 2,2/2,751 = 0,7997
Risposta
t = 0,7997
Con df = 9, il valore critico bilaterale al 5% è 2,262; |t| è minore, quindi H₀ non viene rifiutata.
8.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: z = 1,039
Test d’ipotesi: la statistica test = (stima − valore sotto H₀)/(errore standard sotto H₀). Il p-value è la probabilità, supponendo vera H₀, di una statistica almeno tanto estrema quanto quella osservata: l’area in una coda per una H₁ unilaterale, il doppio dell’area della coda per una H₁ bilaterale. Rifiuta H₀ quando p ≤ α.
Proporzioni campionarie
p̂₁ = 38/150 = 0,2533
p̂₂ = 63/300 = 0,21
p̂ = 101/450 = 0,2244
Errore standard sotto H₀
SE = √(0,2244·0,7756·(1/150 + 1/300)) = 0,04172
Statistica test
z = (0,2533 − 0,21)/0,04172 = 1,039
Risposta
z = 1,039
|z| < 1.96, quindi H₀ non viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).