Disegna la tabella 2 × 2 e indica a, b, c e d prima di calcolare.
Leggi sensibilità e specificità lungo le colonne, i valori predittivi lungo le righe.
Per un’altra prevalenza, immagina 10 000 persone e riempi la tabella con Se, Sp e la prevalenza.
Per un rapporto di verosimiglianza, converti la probabilità in odds, moltiplica e riconverti.
Per uno studio clinico, trova prima EER e CER; poi RR = EER/CER, ARR = CER − EER e NNT = 1/ARR arrotondato per eccesso.
Statistica descrittiva
Media
x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z
z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale
68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ
Intervalli di confidenza
σ nota
x̄ ± z·σ/√n
σ incognita
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria
n = (z·σ/E)², rounded up
Metodo
Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.
Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Test z per una media
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t per una media
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%
rifiuta H0 se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza
x̄ ± z·σ/√n
Metodo
Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.
2Esercizi
1.Statistica per la pratica basata sulle evidenzeMedia
Esercizio di pratica (valori inventati, non indicazioni cliniche). In uno studio di coorte, le persone esposte hanno contribuito con 700 persone-anno e 8 nuovi casi, e quelle non esposte con 6200 persone-anno e 149 nuovi casi. Trova il rapporto dei tassi di incidenza IRR (esposti rispetto a non esposti). Arrotonda a due cifre decimali.
esposti: 8/700 PYnon esposti: 149/6200 PY
IRR =
2.Statistica per la pratica basata sulle evidenzeDifficile
Esercizio di pratica (valori inventati, non indicazioni cliniche). Un test di screening ha una sensibilità del 98% e una specificità del 81%. Viene usato in una popolazione in cui la prevalenza è del 2%. Trova il valore predittivo positivo PPV in percentuale. Arrotonda a una cifra decimale.
Se = 98%Sp = 81%p = 2%
PPV = %
3.Statistica descrittivaMedia
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 40, 16, 14, 12, 25, 34, 27.
n = 7
s =
4.Statistica descrittivaDifficile
I voti di un esame hanno distribuzione normale con media 60 e deviazione standard 5. Trova il punteggio z z di un voto pari a 55.
μ = 60σ = 5x = 55
z =
5.Intervalli di confidenzaMedia
Un campione di 16 elementi ha media 11 e deviazione standard s = 7. La popolazione è approssimativamente normale. Trova il limite superiore dell’intervallo di confidenza al 99 % per la media.
n = 16x̄ = 11s = 799%t(15) = 2,947
limite superiore =
6.Intervalli di confidenzaDifficile
La deviazione standard della popolazione è 9. Quanto deve essere grande il campione n perché un intervallo di confidenza al 90 % per la media abbia un margine di errore non superiore a 1,5?
σ = 9E = 1,590%
n =
7.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia
10 dipendenti svolgono un test di dattilografia prima e dopo un corso di formazione. Per ogni persona si registra la differenza d = dopo − prima (parole al minuto). La differenza media è −10,75 e la deviazione standard delle differenze è 8,5. Trova la statistica test per dati appaiati t per H₀: μd = 0.
n = 10d̄ = −10,75sd = 8,5
t =
8.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
Un test z unilaterale di H₀: μ = 80 contro H₁: μ < 80 viene eseguito con α = 0.01 su un campione di 64; la deviazione standard è nota e vale 20. In realtà la media è 73.5. Trova la potenza 1 − β del test in percentuale.
μ₀ = 80μ = 73,5σ = 20n = 64α = 0,01
1 − β = %
3Soluzioni
1.Statistica per la pratica basata sulle evidenze
Risposta: IRR = 0,48
Rapporti di verosimiglianza e misure di rischio: LR+ = sensibilità/(1 − specificità), LR− = (1 − sensibilità)/specificità. In uno studio clinico, EER e CER sono i tassi di eventi con e senza trattamento: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER e NNT = 1/ARR, arrotondato per eccesso. In uno studio caso-controllo si può usare solo l’odds ratio OR = ad/(bc). Un tasso di incidenza = nuovi casi/persone-tempo.
Tassi di incidenza
esposti: 8/700 = 11,43 per 1000 persone-anno
non esposti: 149/6200 = 24,03 per 1000 persone-anno
Rapporto dei tassi
IRR = 11,43/24,03 = 0,4756 ≈ 0,48
Risposta
IRR = 0,48
2.Statistica per la pratica basata sulle evidenze
Risposta: PPV = 9,5 %
I valori predittivi dipendono dalla prevalenza: VPP = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) e VPN = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Con i rapporti di verosimiglianza: odds pre-test = p/(1 − p), odds post-test = odds pre-test × LR, probabilità = odds/(1 + odds). Per una popolazione di N, veri positivi = N·p·Se e falsi positivi = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), arrotondato per eccesso.
Veri e falsi positivi (per persona)
Se·p = 0,98·0,02 = 0,0196
(1 − Sp)·(1 − p) = 0,19·0,98 = 0,1862
Valore predittivo positivo
PPV = 0,0196/(0,0196 + 0,1862) = 0,09524 ≈ 9,5%
Risposta
PPV = 9,5%
Quanto più bassa è la prevalenza, tanto più basso è il VPP dello stesso test.
3.Statistica descrittiva
Risposta: s = 10,6
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = (55 − 60)/5 = −1
Risposta
z = −1
5.Intervalli di confidenza
Risposta: limite superiore = 16,16
Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.
Valore critico
df = n − 1 = 15, t = 2,947
Margine di errore
E = 2,947·7/√16 = 5,157
Intervallo
11 ± 5,157 → [5,843, 16,16]
Risposta
limite superiore = 16,16
6.Intervalli di confidenza
Risposta: n = 98
Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.
Ricava n
n = (1,645·9/1,5)² = 97,42
Arrotonda per eccesso
La numerosità campionaria è un numero intero, e arrotondare per difetto renderebbe il margine troppo grande.
n = 98
Risposta
n = 98
7.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: t = −3,999
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Errore standard della differenza media
SE = 8,5/√10 = 2,688
Statistica test
t = −10,75/2,688 = −3,999
Risposta
t = −3,999
Con df = 9, il valore critico bilaterale al 5% è 2,262; |t| è maggiore, quindi H₀ viene rifiutata.
8.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: 1 − β = 60,8 %
Potenza di un test: la potenza = 1 − β è la probabilità di rifiutare H₀ quando è falsa. Trova la soglia x̄c da μ₀ e z_α, poi calcola la probabilità di cadere oltre x̄c usando la media vera: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).