Disegna la tabella 2 × 2 e indica a, b, c e d prima di calcolare.
Leggi sensibilità e specificità lungo le colonne, i valori predittivi lungo le righe.
Per un’altra prevalenza, immagina 10 000 persone e riempi la tabella con Se, Sp e la prevalenza.
Per un rapporto di verosimiglianza, converti la probabilità in odds, moltiplica e riconverti.
Per uno studio clinico, trova prima EER e CER; poi RR = EER/CER, ARR = CER − EER e NNT = 1/ARR arrotondato per eccesso.
Statistica descrittiva
Media
x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z
z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale
68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ
Intervalli di confidenza
σ nota
x̄ ± z·σ/√n
σ incognita
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria
n = (z·σ/E)², rounded up
Metodo
Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.
Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Test z per una media
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t per una media
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%
rifiuta H0 se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza
x̄ ± z·σ/√n
Metodo
Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.
2Esercizi
1.Statistica per la pratica basata sulle evidenzeMedia
Esercizio di pratica (valori inventati, non indicazioni cliniche). In uno studio randomizzato, 580 pazienti hanno ricevuto un nuovo trattamento e 180 il trattamento di controllo. La tabella mostra quanti in ciascun gruppo hanno avuto l’esito (un evento indesiderato come un ictus). Trova il numero necessario da trattare NNT per prevenire un evento. Arrotonda per eccesso a un numero intero di pazienti.
trattamento: 172/580controllo: 67/180
NNT =
2.Statistica per la pratica basata sulle evidenzeDifficile
Esercizio di pratica (valori inventati, non indicazioni cliniche). Un paziente ha una probabilità pre-test del 50% per una malattia. Un test con sensibilità del 96% e specificità del 92% risulta positiva. Trova la probabilità post-test p′ della malattia in percentuale. Arrotonda a una cifra decimale.
pre-test 50%Se = 96%Sp = 92%positiva
p′ = %
3.Statistica descrittivaMedia
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 60, 35, 18, 10, 23.
n = 5
s =
4.Statistica descrittivaDifficile
Una grandezza ha distribuzione normale con media 70 e deviazione standard 8. Quale proporzione P dei valori è inferiore a 66?
μ = 70σ = 8x = 66
P =
5.Intervalli di confidenzaMedia
La pressione arteriosa di 11 pazienti viene misurata prima e dopo un trattamento. Le differenze d = prima − dopo (mmHg) hanno media −10 e deviazione standard 2. Trova il limite superiore dell’intervallo di confidenza al 90% per la differenza media.
n = 11d̄ = −10sd = 290%t(10) = 1,812
limite superiore = mmHg
6.Intervalli di confidenzaDifficile
Si provano due fertilizzanti. Gruppo di parcelle 1: 5 parcelle, resa media 30,5 kg, deviazione standard 6 kg. Gruppo di parcelle 2: 7 parcelle, media 19,5 kg, deviazione standard 6,5 kg. Supponi varianze uguali (t combinato, df = n₁ + n₂ − 2). Trova il margine di errore E dell’intervallo di confidenza al 90% per μ₁ − μ₂.
Un campione di 36 studenti ha un punteggio medio di 117,8 e una deviazione standard campionaria di 15. Trova la statistica test t per H₀: μ = 120.
μ₀ = 120x̄ = 117,8s = 15n = 36
t =
8.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
Un campione di 49 misure ha media 98. La deviazione standard della popolazione è 20. Trova il limite inferiore L dell'intervallo di confidenza al 95 % per la media.
x̄ = 98σ = 20n = 4995%
L =
3Soluzioni
1.Statistica per la pratica basata sulle evidenze
Risposta: NNT = 14
Rapporti di verosimiglianza e misure di rischio: LR+ = sensibilità/(1 − specificità), LR− = (1 − sensibilità)/specificità. In uno studio clinico, EER e CER sono i tassi di eventi con e senza trattamento: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER e NNT = 1/ARR, arrotondato per eccesso. In uno studio caso-controllo si può usare solo l’odds ratio OR = ad/(bc). Un tasso di incidenza = nuovi casi/persone-tempo.
Tassi di eventi
EER = 172/580 = 0,2966
CER = 67/180 = 0,3722
Numero necessario da trattare
ARR = 0,3722 − 0,2966 = 0,07567
NNT = 1/0,07567 = 13,22 → 14
Risposta
NNT = 14
Trattare 14 pazienti previene circa un evento.
2.Statistica per la pratica basata sulle evidenze
Risposta: p′ = 92,3 %
I valori predittivi dipendono dalla prevalenza: VPP = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) e VPN = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Con i rapporti di verosimiglianza: odds pre-test = p/(1 − p), odds post-test = odds pre-test × LR, probabilità = odds/(1 + odds). Per una popolazione di N, veri positivi = N·p·Se e falsi positivi = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), arrotondato per eccesso.
Rapporto di verosimiglianza
LR+ = 0,96/(1 − 0,92) = 12
Odds pre-test
0,5/(1 − 0,5) = 1
Odds post-test
1·12 = 12
Probabilità post-test
p′ = 12/(1 + 12) = 0,9231 ≈ 92,3%
Risposta
p′ = 92,3%
3.Statistica descrittiva
Risposta: s = 19,46
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = −0,5
Tavola della normale standard
Φ(−0,5) = 0,3085
P = 0,3085
Risposta
P = 0,3085
5.Intervalli di confidenza
Risposta: limite superiore = −8,907 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Valore critico
df = 10, t = 1,812
Margine di errore
E = 1,812·2/√11 = 1,093
Intervallo
−10 ± 1,093 → [−11,09, −8,907]
Risposta
limite superiore = −8,907 mmHg
6.Intervalli di confidenza
Risposta: E = 6,689 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Deviazione standard combinata
sp² = (4·6² + 6·6,5²)/10 = 39,75
sp = 6,305
Margine di errore
E = 1,812·6,305·√(1/5 + 1/7) = 6,689
Risposta
E = 6,689 kg
7.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: t = −0,88
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).
Errore standard
SE = 15/√36 = 15/6 = 2,5
Statistica test
t = (117,8 − 120)/2,5 = −0,88
Risposta
t = −0,88
t0,025; df = 35 = 2,03
|t| < 2.03, quindi H₀ non viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).
8.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: L = 92,4
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).