Disegna la tabella 2 × 2 e indica a, b, c e d prima di calcolare.
Leggi sensibilità e specificità lungo le colonne, i valori predittivi lungo le righe.
Per un’altra prevalenza, immagina 10 000 persone e riempi la tabella con Se, Sp e la prevalenza.
Per un rapporto di verosimiglianza, converti la probabilità in odds, moltiplica e riconverti.
Per uno studio clinico, trova prima EER e CER; poi RR = EER/CER, ARR = CER − EER e NNT = 1/ARR arrotondato per eccesso.
Statistica descrittiva
Media
x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z
z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale
68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ
Intervalli di confidenza
σ nota
x̄ ± z·σ/√n
σ incognita
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria
n = (z·σ/E)², rounded up
Metodo
Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.
Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Test z per una media
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t per una media
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%
rifiuta H0 se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza
x̄ ± z·σ/√n
Metodo
Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.
2Esercizi
1.Statistica per la pratica basata sulle evidenzeMedia
Esercizio di pratica (valori inventati, non indicazioni cliniche). Un nuovo test è stato confrontato con lo standard di riferimento in uno studio (vedi la tabella 2 × 2). Trova il rapporto di verosimiglianza negativo LR−. Arrotonda a due cifre decimali.
a = 127b = 235c = 63d = 835
LR− =
2.Statistica per la pratica basata sulle evidenzeDifficile
Esercizio di pratica (valori inventati, non indicazioni cliniche). Un test di screening ha una sensibilità del 99% e una specificità del 99%. Viene usato in una popolazione in cui la prevalenza è del 5%. Trova il valore predittivo negativo NPV in percentuale. Arrotonda a una cifra decimale.
Se = 99%Sp = 99%p = 5%
NPV = %
3.Statistica descrittivaMedia
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 53, 41, 23, 56, 52.
n = 5
s =
4.Statistica descrittivaDifficile
Una grandezza ha distribuzione normale con media 170 e deviazione standard 5. Quale proporzione P dei valori è superiore a 162,5?
μ = 170σ = 5x = 162,5
P =
5.Intervalli di confidenzaMedia
Si confronta la durata della batteria di due modelli di telefono. Modello 1: 80 telefoni, media 145 h, deviazione standard nota 6 h. Modello 2: 100 telefoni, media 149 h, deviazione standard nota 19 h. Trova il limite inferiore dell’intervallo di confidenza al 95% per μ₁ − μ₂.
Si provano due fertilizzanti. Gruppo di parcelle 1: 6 parcelle, resa media 63,5 kg, deviazione standard 7,5 kg. Gruppo di parcelle 2: 25 parcelle, media 71,5 kg, deviazione standard 3,5 kg. Supponi varianze uguali (t combinato, df = n₁ + n₂ − 2). Trova il margine di errore E dell’intervallo di confidenza al 99% per μ₁ − μ₂.
Due linee di produzione fabbricano lo stesso pezzo. Linea 1: un campione di 40 pezzi ha lunghezza media 132 mm, e la deviazione standard nota della linea è 12 mm. Linea 2: un campione di 60 pezzi ha media 127,6 mm, deviazione standard nota 10 mm. Trova la statistica test z per H₀: μ₁ = μ₂, prendendo la differenza come x̄₁ − x̄₂ (linea 1 meno linea 2).
8.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
Un campione di 81 misure ha media 98,7. La deviazione standard della popolazione è 20. Trova il limite inferiore L dell'intervallo di confidenza al 99 % per la media.
x̄ = 98,7σ = 20n = 8199%
L =
3Soluzioni
1.Statistica per la pratica basata sulle evidenze
Risposta: LR− = 0,42
Rapporti di verosimiglianza e misure di rischio: LR+ = sensibilità/(1 − specificità), LR− = (1 − sensibilità)/specificità. In uno studio clinico, EER e CER sono i tassi di eventi con e senza trattamento: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER e NNT = 1/ARR, arrotondato per eccesso. In uno studio caso-controllo si può usare solo l’odds ratio OR = ad/(bc). Un tasso di incidenza = nuovi casi/persone-tempo.
Sensibilità e specificità
Se = 127/190 = 0,6684
Sp = 835/1070 = 0,7804
Rapporto di verosimiglianza negativo
LR− = (1 − 0,6684)/0,7804 = 0,4249 ≈ 0,42
Risposta
LR− = 0,42
2.Statistica per la pratica basata sulle evidenze
Risposta: NPV = 99,9 %
I valori predittivi dipendono dalla prevalenza: VPP = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) e VPN = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Con i rapporti di verosimiglianza: odds pre-test = p/(1 − p), odds post-test = odds pre-test × LR, probabilità = odds/(1 + odds). Per una popolazione di N, veri positivi = N·p·Se e falsi positivi = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), arrotondato per eccesso.
Veri e falsi negativi (per persona)
Sp·(1 − p) = 0,99·0,95 = 0,9405
(1 − Se)·p = 0,01·0,05 = 0,0005
Valore predittivo negativo
NPV = 0,9405/(0,9405 + 0,0005) = 0,9995 ≈ 99,9%
Risposta
NPV = 99,9%
3.Statistica descrittiva
Risposta: s = 13,55
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Media
x̄ = 225/5 = 45
Scarti al quadrato
Σ(x − x̄)² = 8² + (−4)² + (−22)² + 11² + 7² = 734
Deviazione standard
s = √(734/4) = 13,55
Risposta
s = 13,55
4.Statistica descrittiva
Risposta: P = 0,9332
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = −1,5
Tavola della normale standard
Φ(−1,5) = 0,06681
P = 1 − 0,06681 = 0,9332
Risposta
P = 0,9332
5.Intervalli di confidenza
Risposta: limite inferiore = −7,949 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Stima puntuale
x̄₁ − x̄₂ = 145 − 149 = −4
Errore standard
SE = √(6²/80 + 19²/100) = 2,015
Margine di errore
E = 1,96·2,015 = 3,949
Intervallo
−4 ± 3,949 → [−7,949, −0,05071]
Risposta
limite inferiore = −7,949 h
L’intervallo non contiene 0, quindi le medie differiscono in modo significativo.
6.Intervalli di confidenza
Risposta: E = 5,58 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Deviazione standard combinata
sp² = (5·7,5² + 24·3,5²)/29 = 19,84
sp = 4,454
Margine di errore
E = 2,756·4,454·√(1/6 + 1/25) = 5,58
Risposta
E = 5,58 kg
7.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: z = 1,917
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Errore standard della differenza
SE = √(12²/40 + 10²/60) = √5,267 = 2,295
Statistica test
z = (132 − 127,6)/2,295 = 1,917
Risposta
z = 1,917
|z| < 1.96, quindi H₀ non viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).
8.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: L = 92,98
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).