Disegna la tabella 2 × 2 e indica a, b, c e d prima di calcolare.
Leggi sensibilità e specificità lungo le colonne, i valori predittivi lungo le righe.
Per un’altra prevalenza, immagina 10 000 persone e riempi la tabella con Se, Sp e la prevalenza.
Per un rapporto di verosimiglianza, converti la probabilità in odds, moltiplica e riconverti.
Per uno studio clinico, trova prima EER e CER; poi RR = EER/CER, ARR = CER − EER e NNT = 1/ARR arrotondato per eccesso.
Statistica descrittiva
Media
x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z
z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale
68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ
Intervalli di confidenza
σ nota
x̄ ± z·σ/√n
σ incognita
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria
n = (z·σ/E)², rounded up
Metodo
Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.
Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Test z per una media
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t per una media
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%
rifiuta H0 se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza
x̄ ± z·σ/√n
Metodo
Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.
2Esercizi
1.Statistica per la pratica basata sulle evidenzeMedia
Esercizio di pratica (valori inventati, non indicazioni cliniche). In uno studio di coorte, le persone esposte hanno contribuito con 7000 persone-anno e 245 nuovi casi, e quelle non esposte con 3800 persone-anno e 53 nuovi casi. Trova il rapporto dei tassi di incidenza IRR (esposti rispetto a non esposti). Arrotonda a due cifre decimali.
esposti: 245/7000 PYnon esposti: 53/3800 PY
IRR =
2.Statistica per la pratica basata sulle evidenzeDifficile
Esercizio di pratica (valori inventati, non indicazioni cliniche). 10 000 persone vengono sottoposte a screening con un test di sensibilità 95% e specificità 94%. La prevalenza della malattia è del 5%. Quante persone con la malattia non vengono individuate dal test (falsi negativi, FN)?
N = 10 000p = 5%Se = 95%Sp = 94%
FN =
3.Statistica descrittivaMedia
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 53, 18, 42, 17, 21, 43.
n = 6
s =
4.Statistica descrittivaDifficile
I voti di un esame hanno distribuzione normale con media 50 e deviazione standard 10. Trova il punteggio z z di un voto pari a 45.
μ = 50σ = 10x = 45
z =
5.Intervalli di confidenzaMedia
La pressione arteriosa di 20 pazienti viene misurata prima e dopo un trattamento. Le differenze d = prima − dopo (mmHg) hanno media −3,5 e deviazione standard 7,3. Trova il margine di errore E dell’intervallo di confidenza al 95% per la differenza media.
n = 20d̄ = −3,5sd = 7,395%t(19) = 2,093
E = mmHg
6.Intervalli di confidenzaDifficile
La deviazione standard della popolazione è 39. Quanto deve essere grande il campione n perché un intervallo di confidenza al 95 % per la media abbia un margine di errore non superiore a 5?
σ = 39E = 595%
n =
7.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia
Si afferma che la media di una popolazione sia 100; la deviazione standard della popolazione è nota e vale 2,5. Un campione casuale di 25 osservazioni ha media 99,47. Verifica H₀: μ = 100 contro H₁: μ < 100. Trova il p-value p.
μ₀ = 100σ = 2,5n = 25x̄ = 99,47H₁: μ < μ₀
p =
8.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
Un campione di 16 misure ha media 76,5. La deviazione standard della popolazione è 12. Trova il limite superiore U dell'intervallo di confidenza al 99 % per la media.
x̄ = 76,5σ = 12n = 1699%
U =
3Soluzioni
1.Statistica per la pratica basata sulle evidenze
Risposta: IRR = 2,51
Rapporti di verosimiglianza e misure di rischio: LR+ = sensibilità/(1 − specificità), LR− = (1 − sensibilità)/specificità. In uno studio clinico, EER e CER sono i tassi di eventi con e senza trattamento: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER e NNT = 1/ARR, arrotondato per eccesso. In uno studio caso-controllo si può usare solo l’odds ratio OR = ad/(bc). Un tasso di incidenza = nuovi casi/persone-tempo.
Tassi di incidenza
esposti: 245/7000 = 35 per 1000 persone-anno
non esposti: 53/3800 = 13,95 per 1000 persone-anno
Rapporto dei tassi
IRR = 35/13,95 = 2,509 ≈ 2,51
Risposta
IRR = 2,51
2.Statistica per la pratica basata sulle evidenze
Risposta: FN = 25
I valori predittivi dipendono dalla prevalenza: VPP = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) e VPN = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Con i rapporti di verosimiglianza: odds pre-test = p/(1 − p), odds post-test = odds pre-test × LR, probabilità = odds/(1 + odds). Per una popolazione di N, veri positivi = N·p·Se e falsi positivi = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), arrotondato per eccesso.
Con e senza la malattia
10 000·0,05 = 500
10 000 − 500 = 9500
Falsi negativi
FN = 500·0,05 = 25
Risposta
FN = 25
3.Statistica descrittiva
Risposta: s = 15,51
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = (45 − 50)/10 = −0,5
Risposta
z = −0,5
5.Intervalli di confidenza
Risposta: E = 3,416 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Valore critico
df = 19, t = 2,093
Margine di errore
E = 2,093·7,3/√20 = 3,416
Risposta
E = 3,416 mmHg
6.Intervalli di confidenza
Risposta: n = 234
Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.
Ricava n
n = (1,96·39/5)² = 233,7
Arrotonda per eccesso
La numerosità campionaria è un numero intero, e arrotondare per difetto renderebbe il margine troppo grande.
n = 234
Risposta
n = 234
7.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: p = 0,1446
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Statistica test
SE = σ/√n = 2,5/√25 = 0,5
z = (99,47 − 100)/0,5 = −1,06
Area della coda
Φ(1,06) = 0,8554
1 − Φ(1,06) = 0,1446
p-value
p = 0,1446
Risposta
p = 0,1446
p > 0,05, quindi H₀ non viene rifiutata al livello del 5%.
8.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: U = 84,23
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).