Disegna la tabella 2 × 2 e indica a, b, c e d prima di calcolare.
Leggi sensibilità e specificità lungo le colonne, i valori predittivi lungo le righe.
Per un’altra prevalenza, immagina 10 000 persone e riempi la tabella con Se, Sp e la prevalenza.
Per un rapporto di verosimiglianza, converti la probabilità in odds, moltiplica e riconverti.
Per uno studio clinico, trova prima EER e CER; poi RR = EER/CER, ARR = CER − EER e NNT = 1/ARR arrotondato per eccesso.
Statistica descrittiva
Media
x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z
z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale
68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ
Intervalli di confidenza
σ nota
x̄ ± z·σ/√n
σ incognita
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria
n = (z·σ/E)², rounded up
Metodo
Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.
Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Test z per una media
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t per una media
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%
rifiuta H0 se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza
x̄ ± z·σ/√n
Metodo
Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.
2Esercizi
1.Statistica per la pratica basata sulle evidenzeMedia
Esercizio di pratica (valori inventati, non indicazioni cliniche). In una coorte, gruppi di persone sono stati seguiti per periodi di durata diversa (vedi la tabella: numero di persone e anni di follow-up per ciascun gruppo). Durante il follow-up si sono verificati 40 nuovi casi. Trova il tasso di incidenza IR per 1000 persone-anno. Arrotonda a una cifra decimale.
400 × 1,5 anni540 × 2,5 anni40 nuovi casi
IR = per 1000 persone-anno
2.Statistica per la pratica basata sulle evidenzeDifficile
Esercizio di pratica (valori inventati, non indicazioni cliniche). 10 000 persone vengono sottoposte a screening con un test di sensibilità 91% e specificità 78%. La prevalenza della malattia è del 15%. Quante persone con la malattia non vengono individuate dal test (falsi negativi, FN)?
N = 10 000p = 15%Se = 91%Sp = 78%
FN =
3.Statistica descrittivaMedia
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 49, 21, 17, 29, 37, 16, 38.
n = 7
s =
4.Statistica descrittivaDifficile
Una grandezza ha distribuzione normale con media 100 e deviazione standard 8. Quale proporzione P dei valori è superiore a 88?
μ = 100σ = 8x = 88
P =
5.Intervalli di confidenzaMedia
Un intervallo di confidenza al 99% per una media, basato su 25 osservazioni e σ nota, ha un margine di errore di 7,6. Qual è il margine di errore E₂ se lo stesso studio usa invece 225 osservazioni?
99%n₁ = 25E₁ = 7,6n₂ = 225
E₂ =
6.Intervalli di confidenzaDifficile
La deviazione standard della popolazione è 39. Quanto deve essere grande il campione n perché un intervallo di confidenza al 90 % per la media abbia un margine di errore non superiore a 2?
σ = 39E = 290%
n =
7.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia
Un campione di 25 studenti ha un punteggio medio di 113,4 e una deviazione standard campionaria di 15. Trova la statistica test t per H₀: μ = 120.
μ₀ = 120x̄ = 113,4s = 15n = 25
t =
8.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
Un test z unilaterale di H₀: μ = 200 contro H₁: μ > 200 viene eseguito con α = 0,05 su un campione di 36; la deviazione standard è nota e vale 6. In realtà la media è 201,7. Trova la potenza 1 − β del test in percentuale.
μ₀ = 200μ = 201,7σ = 6n = 36α = 0,05
1 − β = %
3Soluzioni
1.Statistica per la pratica basata sulle evidenze
Risposta: IR = 20,5 per 1000 persone-anno
Rapporti di verosimiglianza e misure di rischio: LR+ = sensibilità/(1 − specificità), LR− = (1 − sensibilità)/specificità. In uno studio clinico, EER e CER sono i tassi di eventi con e senza trattamento: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER e NNT = 1/ARR, arrotondato per eccesso. In uno studio caso-controllo si può usare solo l’odds ratio OR = ad/(bc). Un tasso di incidenza = nuovi casi/persone-tempo.
Persone-anno
PY = 400·1,5 + 540·2,5 = 1950
Tasso di incidenza
IR = 40/1950·1000 = 20,5 per 1000 persone-anno
Risposta
IR = 20,5 per 1000 persone-anno
2.Statistica per la pratica basata sulle evidenze
Risposta: FN = 135
I valori predittivi dipendono dalla prevalenza: VPP = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) e VPN = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Con i rapporti di verosimiglianza: odds pre-test = p/(1 − p), odds post-test = odds pre-test × LR, probabilità = odds/(1 + odds). Per una popolazione di N, veri positivi = N·p·Se e falsi positivi = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), arrotondato per eccesso.
Con e senza la malattia
10 000·0,15 = 1500
10 000 − 1500 = 8500
Falsi negativi
FN = 1500·0,09 = 135
Risposta
FN = 135
3.Statistica descrittiva
Risposta: s = 12,38
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = −1,5
Tavola della normale standard
Φ(−1,5) = 0,06681
P = 1 − 0,06681 = 0,9332
Risposta
P = 0,9332
5.Intervalli di confidenza
Risposta: E₂ = 2,533
Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.
Rapporto dei margini
E₂/E₁ = (2,576/2,576)·√(25/225) = 0,3333
Nuovo margine
E₂ = 7,6·0,3333 = 2,533
Risposta
E₂ = 2,533
6.Intervalli di confidenza
Risposta: n = 1029
Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.
Ricava n
n = (1,645·39/2)² = 1029
Arrotonda per eccesso
La numerosità campionaria è un numero intero, e arrotondare per difetto renderebbe il margine troppo grande.
n = 1029
Risposta
n = 1029
7.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: t = −2,2
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).
Errore standard
SE = 15/√25 = 15/5 = 3
Statistica test
t = (113,4 − 120)/3 = −2,2
Risposta
t = −2,2
t0,025; df = 24 = 2,064
|t| > 2,064, quindi H₀ viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).
8.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: 1 − β = 52,19 %
Potenza di un test: la potenza = 1 − β è la probabilità di rifiutare H₀ quando è falsa. Trova la soglia x̄c da μ₀ e z_α, poi calcola la probabilità di cadere oltre x̄c usando la media vera: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).