Disegna la tabella 2 × 2 e indica a, b, c e d prima di calcolare.
Leggi sensibilità e specificità lungo le colonne, i valori predittivi lungo le righe.
Per un’altra prevalenza, immagina 10 000 persone e riempi la tabella con Se, Sp e la prevalenza.
Per un rapporto di verosimiglianza, converti la probabilità in odds, moltiplica e riconverti.
Per uno studio clinico, trova prima EER e CER; poi RR = EER/CER, ARR = CER − EER e NNT = 1/ARR arrotondato per eccesso.
Statistica descrittiva
Media
x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z
z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale
68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ
Intervalli di confidenza
σ nota
x̄ ± z·σ/√n
σ incognita
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria
n = (z·σ/E)², rounded up
Metodo
Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.
Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Test z per una media
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t per una media
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%
rifiuta H0 se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza
x̄ ± z·σ/√n
Metodo
Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.
2Esercizi
1.Statistica per la pratica basata sulle evidenzeMedia
Esercizio di pratica (valori inventati, non indicazioni cliniche). In uno studio randomizzato, 140 pazienti hanno ricevuto un nuovo trattamento e 370 il trattamento di controllo. La tabella mostra quanti in ciascun gruppo hanno avuto l’esito (un evento indesiderato come un ictus). Trova il rischio relativo RR dell’evento con il trattamento. Arrotonda a due cifre decimali.
trattamento: 27/140controllo: 118/370
RR =
2.Statistica per la pratica basata sulle evidenzeDifficile
Esercizio di pratica (valori inventati, non indicazioni cliniche). 10 000 persone vengono sottoposte a screening con un test di sensibilità 73% e specificità 79%. La prevalenza della malattia è del 16%. Quanti risultati positivi n₊ ci si aspetta in totale?
N = 10 000p = 16%Se = 73%Sp = 79%
n₊ =
3.Statistica descrittivaMedia
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 47, 26, 38, 56, 60, 31.
n = 6
s =
4.Statistica descrittivaDifficile
Una grandezza ha distribuzione normale con media 100 e deviazione standard 20. Quale proporzione P dei valori è inferiore a 125?
μ = 100σ = 20x = 125
P =
5.Intervalli di confidenzaMedia
Si confronta la durata della batteria di due modelli di telefono. Modello 1: 30 telefoni, media 60,5 h, deviazione standard nota 9 h. Modello 2: 60 telefoni, media 56,5 h, deviazione standard nota 10 h. Trova il margine di errore E dell’intervallo di confidenza al 99% per μ₁ − μ₂.
Si provano due fertilizzanti. Gruppo di parcelle 1: 6 parcelle, resa media 34,5 kg, deviazione standard 9 kg. Gruppo di parcelle 2: 6 parcelle, media 34 kg, deviazione standard 4,5 kg. Supponi varianze uguali (t combinato, df = n₁ + n₂ − 2). Trova il limite superiore dell’intervallo di confidenza al 90% per μ₁ − μ₂.
Un campione di 16 studenti ha un punteggio medio di 95,5 e una deviazione standard campionaria di 20. Trova la statistica test t per H₀: μ = 100.
μ₀ = 100x̄ = 95,5s = 20n = 16
t =
8.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
Un test z unilaterale con α = 0,05 deve rilevare uno spostamento della media di 2 unità con una potenza del 90%. La deviazione standard è 13. Trova la dimensione minima del campione n.
Rapporti di verosimiglianza e misure di rischio: LR+ = sensibilità/(1 − specificità), LR− = (1 − sensibilità)/specificità. In uno studio clinico, EER e CER sono i tassi di eventi con e senza trattamento: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER e NNT = 1/ARR, arrotondato per eccesso. In uno studio caso-controllo si può usare solo l’odds ratio OR = ad/(bc). Un tasso di incidenza = nuovi casi/persone-tempo.
Tassi di eventi
EER = 27/140 = 0,1929
CER = 118/370 = 0,3189
Rischio relativo
RR = 0,1929/0,3189 = 0,6047 ≈ 0,6
Risposta
RR = 0,6
2.Statistica per la pratica basata sulle evidenze
Risposta: n₊ = 2932
I valori predittivi dipendono dalla prevalenza: VPP = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) e VPN = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Con i rapporti di verosimiglianza: odds pre-test = p/(1 − p), odds post-test = odds pre-test × LR, probabilità = odds/(1 + odds). Per una popolazione di N, veri positivi = N·p·Se e falsi positivi = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), arrotondato per eccesso.
Con e senza la malattia
10 000·0,16 = 1600
10 000 − 1600 = 8400
Tutti i risultati positivi
TP = 1600·0,73 = 1168
FP = 8400·0,21 = 1764
n₊ = 1168 + 1764 = 2932
Risposta
n₊ = 2932
Dei 2932 positivi solo 1168 hanno la malattia (VPP 39,8%).
3.Statistica descrittiva
Risposta: s = 13,65
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = 1,25
Tavola della normale standard
Φ(1,25) = 0,8944
P = 0,8944
Risposta
P = 0,8944
5.Intervalli di confidenza
Risposta: E = 5,383 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Stima puntuale
x̄₁ − x̄₂ = 60,5 − 56,5 = 4
Errore standard
SE = √(9²/30 + 10²/60) = 2,09
Margine di errore
E = 2,576·2,09 = 5,383
Risposta
E = 5,383 h
L’intervallo contiene 0, quindi i dati non mostrano una differenza significativa.
6.Intervalli di confidenza
Risposta: limite superiore = 7,944 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Deviazione standard combinata
sp² = (5·9² + 5·4,5²)/10 = 50,63
sp = 7,115
Margine di errore
E = 1,812·7,115·√(1/6 + 1/6) = 7,444
Intervallo
0,5 ± 7,444 → [−6,944, 7,944]
Risposta
limite superiore = 7,944 kg
7.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: t = −0,9
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).
Errore standard
SE = 20/√16 = 20/4 = 5
Statistica test
t = (95,5 − 100)/5 = −0,9
Risposta
t = −0,9
t0,025; df = 15 = 2,131
|t| < 2.131, quindi H₀ non viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).
8.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: n = 362
Dimensione del campione per un test: per rilevare uno spostamento reale δ con potenza 1 − β in un test z unilaterale al livello α, l’errore standard deve soddisfare δ = (z_α + z_β)·σ/√n, quindi n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², arrotondato per eccesso.