Disegna la tabella 2 × 2 e indica a, b, c e d prima di calcolare.
Leggi sensibilità e specificità lungo le colonne, i valori predittivi lungo le righe.
Per un’altra prevalenza, immagina 10 000 persone e riempi la tabella con Se, Sp e la prevalenza.
Per un rapporto di verosimiglianza, converti la probabilità in odds, moltiplica e riconverti.
Per uno studio clinico, trova prima EER e CER; poi RR = EER/CER, ARR = CER − EER e NNT = 1/ARR arrotondato per eccesso.
Statistica descrittiva
Media
x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z
z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale
68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ
Intervalli di confidenza
σ nota
x̄ ± z·σ/√n
σ incognita
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria
n = (z·σ/E)², rounded up
Metodo
Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.
Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Test z per una media
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t per una media
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%
rifiuta H0 se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza
x̄ ± z·σ/√n
Metodo
Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.
2Esercizi
1.Statistica per la pratica basata sulle evidenzeMedia
Esercizio di pratica (valori inventati, non indicazioni cliniche). Uno studio caso-controllo confronta 70 pazienti con una malattia (casi) e 90 persone senza di essa (controlli). La tabella mostra quanti in ciascun gruppo sono stati esposti a un fattore di rischio. Trova l’odds ratio OR per l’esposizione. Arrotonda a due cifre decimali.
a = 14b = 34c = 56d = 56
OR =
2.Statistica per la pratica basata sulle evidenzeDifficile
Esercizio di pratica (valori inventati, non indicazioni cliniche). Un test di screening ha una sensibilità del 77% e una specificità del 99%. Viene usato in una popolazione in cui la prevalenza è del 3%. Trova il valore predittivo positivo PPV in percentuale. Arrotonda a una cifra decimale.
Se = 77%Sp = 99%p = 3%
PPV = %
3.Statistica descrittivaMedia
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 44, 52, 15, 35, 22.
n = 5
s =
4.Statistica descrittivaDifficile
Una grandezza ha distribuzione normale con media 170 e deviazione standard 12. Quale proporzione P dei valori è superiore a 158?
μ = 170σ = 12x = 158
P =
5.Intervalli di confidenzaMedia
Un campione di 6 elementi ha media 28,5 e deviazione standard s = 18. La popolazione è approssimativamente normale. Trova il limite superiore dell’intervallo di confidenza al 90 % per la media.
n = 6x̄ = 28,5s = 1890%t(5) = 2,015
limite superiore =
6.Intervalli di confidenzaDifficile
Non si sa nulla in anticipo sulla proporzione di prodotti difettosi. Quanti prodotti n si devono ispezionare perché un intervallo di confidenza al 95% per la proporzione abbia un margine di errore di al massimo 0,05?
p = 0,5E = 0,0595%
n =
7.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia
7 dipendenti svolgono un test di dattilografia prima e dopo un corso di formazione. Per ogni persona si registra la differenza d = dopo − prima (parole al minuto). La differenza media è 9,73 e la deviazione standard delle differenze è 7,8. Trova la statistica test per dati appaiati t per H₀: μd = 0.
n = 7d̄ = 9,73sd = 7,8
t =
8.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
Quanto deve essere grande un campione perché l'intervallo di confidenza al 90 % per una media abbia un margine di errore di al massimo 3? La deviazione standard è 4. Trova la dimensione minima del campione n.
σ = 4E = 390%
n =
3Soluzioni
1.Statistica per la pratica basata sulle evidenze
Risposta: OR = 0,41
Rapporti di verosimiglianza e misure di rischio: LR+ = sensibilità/(1 − specificità), LR− = (1 − sensibilità)/specificità. In uno studio clinico, EER e CER sono i tassi di eventi con e senza trattamento: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER e NNT = 1/ARR, arrotondato per eccesso. In uno studio caso-controllo si può usare solo l’odds ratio OR = ad/(bc). Un tasso di incidenza = nuovi casi/persone-tempo.
Odds di esposizione
casi: 14/56 = 0,25
controlli: 34/56 = 0,6071
Odds ratio
OR = (14·56)/(34·56) = 0,4118 ≈ 0,41
Risposta
OR = 0,41
OR inferiore a 1: l’esposizione è meno comune tra i casi, il che suggerisce un effetto protettivo.
2.Statistica per la pratica basata sulle evidenze
Risposta: PPV = 70,4 %
I valori predittivi dipendono dalla prevalenza: VPP = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) e VPN = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Con i rapporti di verosimiglianza: odds pre-test = p/(1 − p), odds post-test = odds pre-test × LR, probabilità = odds/(1 + odds). Per una popolazione di N, veri positivi = N·p·Se e falsi positivi = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), arrotondato per eccesso.
Veri e falsi positivi (per persona)
Se·p = 0,77·0,03 = 0,0231
(1 − Sp)·(1 − p) = 0,01·0,97 = 0,0097
Valore predittivo positivo
PPV = 0,0231/(0,0231 + 0,0097) = 0,7043 ≈ 70,4%
Risposta
PPV = 70,4%
Quanto più bassa è la prevalenza, tanto più basso è il VPP dello stesso test.
3.Statistica descrittiva
Risposta: s = 15,24
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = −1
Tavola della normale standard
Φ(−1) = 0,1587
P = 1 − 0,1587 = 0,8413
Risposta
P = 0,8413
5.Intervalli di confidenza
Risposta: limite superiore = 43,31
Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.
Valore critico
df = n − 1 = 5, t = 2,015
Margine di errore
E = 2,015·18/√6 = 14,81
Intervallo
28,5 ± 14,81 → [13,69, 43,31]
Risposta
limite superiore = 43,31
6.Intervalli di confidenza
Risposta: n = 385
Intervallo di confidenza per una proporzione: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), dove p̂ = x/n. Per ottenere un margine E serve n ≥ z²·p(1 − p)/E², arrotondato per eccesso; senza una stima preliminare usa p = 0,5, che dà il valore di n più grande.
Ricava n
n = 1,96²·0,5·0,5/0,05² = 384,2
Arrotonda per eccesso
n = 385
Risposta
n = 385
7.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: t = 3,3
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).
Errore standard della differenza media
SE = 7,8/√7 = 2,948
Statistica test
t = 9,73/2,948 = 3,3
Risposta
t = 3,3
Con df = 6, il valore critico bilaterale al 5% è 2,447; |t| è maggiore, quindi H₀ viene rifiutata.
8.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: n = 5
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).