Disegna la tabella 2 × 2 e indica a, b, c e d prima di calcolare.
Leggi sensibilità e specificità lungo le colonne, i valori predittivi lungo le righe.
Per un’altra prevalenza, immagina 10 000 persone e riempi la tabella con Se, Sp e la prevalenza.
Per un rapporto di verosimiglianza, converti la probabilità in odds, moltiplica e riconverti.
Per uno studio clinico, trova prima EER e CER; poi RR = EER/CER, ARR = CER − EER e NNT = 1/ARR arrotondato per eccesso.
Statistica descrittiva
Media
x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z
z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale
68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ
Intervalli di confidenza
σ nota
x̄ ± z·σ/√n
σ incognita
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria
n = (z·σ/E)², rounded up
Metodo
Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.
Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Test z per una media
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t per una media
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%
rifiuta H0 se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza
x̄ ± z·σ/√n
Metodo
Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.
2Esercizi
1.Statistica per la pratica basata sulle evidenzeMedia
Esercizio di pratica (valori inventati, non indicazioni cliniche). Uno studio caso-controllo confronta 290 pazienti con una malattia (casi) e 690 persone senza di essa (controlli). La tabella mostra quanti in ciascun gruppo sono stati esposti a un fattore di rischio. Trova l’odds ratio OR per l’esposizione. Arrotonda a due cifre decimali.
a = 141b = 166c = 149d = 524
OR =
2.Statistica per la pratica basata sulle evidenzeDifficile
Esercizio di pratica (valori inventati, non indicazioni cliniche). 10 000 persone vengono sottoposte a screening con un test di sensibilità 77% e specificità 82%. La prevalenza della malattia è del 3%. Quante persone con la malattia non vengono individuate dal test (falsi negativi, FN)?
N = 10 000p = 3%Se = 77%Sp = 82%
FN =
3.Statistica descrittivaMedia
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 57, 57, 25, 59, 18, 43.
n = 6
s =
4.Statistica descrittivaDifficile
Una grandezza ha distribuzione normale con media 50 e deviazione standard 12. Quale proporzione P dei valori è superiore a 68?
μ = 50σ = 12x = 68
P =
5.Intervalli di confidenzaMedia
Un campione di 15 elementi ha media 52,5 e deviazione standard s = 18. La popolazione è approssimativamente normale. Trova il limite inferiore dell’intervallo di confidenza al 95 % per la media.
n = 15x̄ = 52,5s = 1895%t(14) = 2,145
limite inferiore =
6.Intervalli di confidenzaDifficile
La deviazione standard della popolazione è 29. Quanto deve essere grande il campione n perché un intervallo di confidenza al 95 % per la media abbia un margine di errore non superiore a 4?
σ = 29E = 495%
n =
7.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia
Un campione di 16 studenti ha un punteggio medio di 69,6 e una deviazione standard campionaria di 12. Trova la statistica test t per H₀: μ = 75.
μ₀ = 75x̄ = 69,6s = 12n = 16
t =
8.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
Un test z unilaterale di H₀: μ = 50 contro H₁: μ > 50 viene eseguito con α = 0,05 su un campione di 25; la deviazione standard è nota e vale 2,5. In realtà la media è 50,9. Trova la probabilità di un errore di secondo tipo β in percentuale.
μ₀ = 50μ = 50,9σ = 2,5n = 25α = 0,05
β = %
3Soluzioni
1.Statistica per la pratica basata sulle evidenze
Risposta: OR = 2,99
Rapporti di verosimiglianza e misure di rischio: LR+ = sensibilità/(1 − specificità), LR− = (1 − sensibilità)/specificità. In uno studio clinico, EER e CER sono i tassi di eventi con e senza trattamento: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER e NNT = 1/ARR, arrotondato per eccesso. In uno studio caso-controllo si può usare solo l’odds ratio OR = ad/(bc). Un tasso di incidenza = nuovi casi/persone-tempo.
Odds di esposizione
casi: 141/149 = 0,9463
controlli: 166/524 = 0,3168
Odds ratio
OR = (141·524)/(166·149) = 2,987 ≈ 2,99
Risposta
OR = 2,99
OR superiore a 1: l’esposizione è più comune tra i casi.
2.Statistica per la pratica basata sulle evidenze
Risposta: FN = 69
I valori predittivi dipendono dalla prevalenza: VPP = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) e VPN = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Con i rapporti di verosimiglianza: odds pre-test = p/(1 − p), odds post-test = odds pre-test × LR, probabilità = odds/(1 + odds). Per una popolazione di N, veri positivi = N·p·Se e falsi positivi = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), arrotondato per eccesso.
Con e senza la malattia
10 000·0,03 = 300
10 000 − 300 = 9700
Falsi negativi
FN = 300·0,23 = 69
Risposta
FN = 69
3.Statistica descrittiva
Risposta: s = 17,87
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = 1,5
Tavola della normale standard
Φ(1,5) = 0,9332
P = 1 − 0,9332 = 0,06681
Risposta
P = 0,06681
5.Intervalli di confidenza
Risposta: limite inferiore = 42,53
Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.
Valore critico
df = n − 1 = 14, t = 2,145
Margine di errore
E = 2,145·18/√15 = 9,969
Intervallo
52,5 ± 9,969 → [42,53, 62,47]
Risposta
limite inferiore = 42,53
6.Intervalli di confidenza
Risposta: n = 202
Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.
Ricava n
n = (1,96·29/4)² = 201,9
Arrotonda per eccesso
La numerosità campionaria è un numero intero, e arrotondare per difetto renderebbe il margine troppo grande.
n = 202
Risposta
n = 202
7.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: t = −1,8
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).
Errore standard
SE = 12/√16 = 12/4 = 3
Statistica test
t = (69,6 − 75)/3 = −1,8
Risposta
t = −1,8
t0,025; df = 15 = 2,131
|t| < 2.131, quindi H₀ non viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).
8.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: β = 43,84 %
Potenza di un test: la potenza = 1 − β è la probabilità di rifiutare H₀ quando è falsa. Trova la soglia x̄c da μ₀ e z_α, poi calcola la probabilità di cadere oltre x̄c usando la media vera: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).