Disegna la tabella 2 × 2 e indica a, b, c e d prima di calcolare.
Leggi sensibilità e specificità lungo le colonne, i valori predittivi lungo le righe.
Per un’altra prevalenza, immagina 10 000 persone e riempi la tabella con Se, Sp e la prevalenza.
Per un rapporto di verosimiglianza, converti la probabilità in odds, moltiplica e riconverti.
Per uno studio clinico, trova prima EER e CER; poi RR = EER/CER, ARR = CER − EER e NNT = 1/ARR arrotondato per eccesso.
Statistica descrittiva
Media
x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z
z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale
68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ
Intervalli di confidenza
σ nota
x̄ ± z·σ/√n
σ incognita
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria
n = (z·σ/E)², rounded up
Metodo
Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.
Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Test z per una media
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t per una media
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%
rifiuta H0 se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza
x̄ ± z·σ/√n
Metodo
Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.
2Esercizi
1.Statistica per la pratica basata sulle evidenzeMedia
Esercizio di pratica (valori inventati, non indicazioni cliniche). Uno studio caso-controllo confronta 190 pazienti con una malattia (casi) e 270 persone senza di essa (controlli). La tabella mostra quanti in ciascun gruppo sono stati esposti a un fattore di rischio. Trova l’odds ratio OR per l’esposizione. Arrotonda a due cifre decimali.
a = 119b = 108c = 71d = 162
OR =
2.Statistica per la pratica basata sulle evidenzeDifficile
Esercizio di pratica (valori inventati, non indicazioni cliniche). Un test di screening ha una sensibilità del 88% e una specificità del 93%. Viene usato in una popolazione in cui la prevalenza è del 2%. Trova il valore predittivo positivo PPV in percentuale. Arrotonda a una cifra decimale.
Se = 88%Sp = 93%p = 2%
PPV = %
3.Statistica descrittivaMedia
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 13, 54, 48, 59, 20, 14.
n = 6
s =
4.Statistica descrittivaDifficile
Una grandezza ha distribuzione normale con media 50 e deviazione standard 5. Quale proporzione P dei valori è inferiore a 47,5?
μ = 50σ = 5x = 47,5
P =
5.Intervalli di confidenzaMedia
Un campione di 20 elementi ha media 103 e deviazione standard s = 12,5. La popolazione è approssimativamente normale. Trova il limite superiore dell’intervallo di confidenza al 90 % per la media.
n = 20x̄ = 103s = 12,590%t(19) = 1,729
limite superiore =
6.Intervalli di confidenzaDifficile
Si provano due fertilizzanti. Gruppo di parcelle 1: 9 parcelle, resa media 34,5 kg, deviazione standard 7,5 kg. Gruppo di parcelle 2: 5 parcelle, media 33 kg, deviazione standard 6,5 kg. Supponi varianze uguali (t combinato, df = n₁ + n₂ − 2). Trova il margine di errore E dell’intervallo di confidenza al 90% per μ₁ − μ₂.
Un campione di 64 studenti ha un punteggio medio di 51,75 e una deviazione standard campionaria di 20. Trova la statistica test t per H₀: μ = 50.
μ₀ = 50x̄ = 51,75s = 20n = 64
t =
8.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
In una sperimentazione, 100 pazienti su 250 con il trattamento A guariscono, e 32 su 120 con il trattamento B. Usando la proporzione combinata, trova la statistica test z per H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 100n₁ = 250x₂ = 32n₂ = 120
z =
3Soluzioni
1.Statistica per la pratica basata sulle evidenze
Risposta: OR = 2,51
Rapporti di verosimiglianza e misure di rischio: LR+ = sensibilità/(1 − specificità), LR− = (1 − sensibilità)/specificità. In uno studio clinico, EER e CER sono i tassi di eventi con e senza trattamento: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER e NNT = 1/ARR, arrotondato per eccesso. In uno studio caso-controllo si può usare solo l’odds ratio OR = ad/(bc). Un tasso di incidenza = nuovi casi/persone-tempo.
Odds di esposizione
casi: 119/71 = 1,676
controlli: 108/162 = 0,6667
Odds ratio
OR = (119·162)/(108·71) = 2,514 ≈ 2,51
Risposta
OR = 2,51
OR superiore a 1: l’esposizione è più comune tra i casi.
2.Statistica per la pratica basata sulle evidenze
Risposta: PPV = 20,4 %
I valori predittivi dipendono dalla prevalenza: VPP = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) e VPN = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Con i rapporti di verosimiglianza: odds pre-test = p/(1 − p), odds post-test = odds pre-test × LR, probabilità = odds/(1 + odds). Per una popolazione di N, veri positivi = N·p·Se e falsi positivi = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), arrotondato per eccesso.
Veri e falsi positivi (per persona)
Se·p = 0,88·0,02 = 0,0176
(1 − Sp)·(1 − p) = 0,07·0,98 = 0,0686
Valore predittivo positivo
PPV = 0,0176/(0,0176 + 0,0686) = 0,2042 ≈ 20,4%
Risposta
PPV = 20,4%
Quanto più bassa è la prevalenza, tanto più basso è il VPP dello stesso test.
3.Statistica descrittiva
Risposta: s = 21,24
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = −0,5
Tavola della normale standard
Φ(−0,5) = 0,3085
P = 0,3085
Risposta
P = 0,3085
5.Intervalli di confidenza
Risposta: limite superiore = 107,8
Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.
Valore critico
df = n − 1 = 19, t = 1,729
Margine di errore
E = 1,729·12,5/√20 = 4,833
Intervallo
103 ± 4,833 → [98,17, 107,8]
Risposta
limite superiore = 107,8
6.Intervalli di confidenza
Risposta: E = 7,139 kg
Intervallo per una differenza: stima ± valore critico × errore standard. Per due medie indipendenti con σ nota: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) e z. Con varianze uguali ma ignote: s_p combinata e t con n₁ + n₂ − 2 gradi di libertà. Per dati appaiati, lavora sulle differenze: d̄ ± t·s_d/√n.
Deviazione standard combinata
sp² = (8·7,5² + 4·6,5²)/12 = 51,58
sp = 7,182
Margine di errore
E = 1,782·7,182·√(1/9 + 1/5) = 7,139
Risposta
E = 7,139 kg
7.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: t = 0,7
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).
Errore standard
SE = 20/√64 = 20/8 = 2,5
Statistica test
t = (51,75 − 50)/2,5 = 0,7
Risposta
t = 0,7
t0,025; df = 63 = 1,998
|t| < 1.998, quindi H₀ non viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).
8.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: z = 2,506
Test d’ipotesi: la statistica test = (stima − valore sotto H₀)/(errore standard sotto H₀). Il p-value è la probabilità, supponendo vera H₀, di una statistica almeno tanto estrema quanto quella osservata: l’area in una coda per una H₁ unilaterale, il doppio dell’area della coda per una H₁ bilaterale. Rifiuta H₀ quando p ≤ α.
Proporzioni campionarie
p̂₁ = 100/250 = 0,4
p̂₂ = 32/120 = 0,2667
p̂ = 132/370 = 0,3568
Errore standard sotto H₀
SE = √(0,3568·0,6432·(1/250 + 1/120)) = 0,0532
Statistica test
z = (0,4 − 0,2667)/0,0532 = 2,506
Risposta
z = 2,506
|z| > 1,96, quindi H₀ viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).