Disegna la tabella 2 × 2 e indica a, b, c e d prima di calcolare.
Leggi sensibilità e specificità lungo le colonne, i valori predittivi lungo le righe.
Per un’altra prevalenza, immagina 10 000 persone e riempi la tabella con Se, Sp e la prevalenza.
Per un rapporto di verosimiglianza, converti la probabilità in odds, moltiplica e riconverti.
Per uno studio clinico, trova prima EER e CER; poi RR = EER/CER, ARR = CER − EER e NNT = 1/ARR arrotondato per eccesso.
Statistica descrittiva
Media
x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z
z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale
68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ
Intervalli di confidenza
σ nota
x̄ ± z·σ/√n
σ incognita
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria
n = (z·σ/E)², rounded up
Metodo
Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.
Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Test z per una media
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Test t per una media
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%
rifiuta H0 se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza
x̄ ± z·σ/√n
Metodo
Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.
2Esercizi
1.Statistica per la pratica basata sulle evidenzeMedia
Esercizio di pratica (valori inventati, non indicazioni cliniche). Uno studio caso-controllo confronta 340 pazienti con una malattia (casi) e 90 persone senza di essa (controlli). La tabella mostra quanti in ciascun gruppo sono stati esposti a un fattore di rischio. Trova l’odds ratio OR per l’esposizione. Arrotonda a due cifre decimali.
a = 150b = 30c = 190d = 60
OR =
2.Statistica per la pratica basata sulle evidenzeDifficile
Esercizio di pratica (valori inventati, non indicazioni cliniche). 10 000 persone vengono sottoposte a screening con un test di sensibilità 93% e specificità 89%. La prevalenza della malattia è del 5%. Quante persone con la malattia non vengono individuate dal test (falsi negativi, FN)?
N = 10 000p = 5%Se = 93%Sp = 89%
FN =
3.Statistica descrittivaMedia
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 33, 20, 40, 51, 42.
n = 5
s =
4.Statistica descrittivaDifficile
I voti di un esame hanno distribuzione normale con media 500 e deviazione standard 25. Trova il punteggio z z di un voto pari a 515.
μ = 500σ = 25x = 515
z =
5.Intervalli di confidenzaMedia
Si confronta la durata della batteria di due modelli di telefono. Modello 1: 100 telefoni, media 54 h, deviazione standard nota 5 h. Modello 2: 100 telefoni, media 45,5 h, deviazione standard nota 11 h. Trova il limite superiore dell’intervallo di confidenza al 95% per μ₁ − μ₂.
La deviazione standard della popolazione è 32. Quanto deve essere grande il campione n perché un intervallo di confidenza al 90 % per la media abbia un margine di errore non superiore a 3?
σ = 32E = 390%
n =
7.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia
Si confrontano due metodi didattici. Gruppo 1: 6 studenti, punteggio medio 85,5, deviazione standard 9. Gruppo 2: 6 studenti, punteggio medio 97,4, deviazione standard 10,5. Supponi varianze della popolazione uguali e usa il test t a due campioni con varianza combinata. Trova la statistica test t per H₀: μ₁ = μ₂, prendendo la differenza come x̄₁ − x̄₂ (gruppo 1 meno gruppo 2).
n₁ = 6x̄₁ = 85,5s₁ = 9n₂ = 6x̄₂ = 97,4s₂ = 10,5
t =
8.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
Un campione di 81 misure ha media 202,8. La deviazione standard della popolazione è 15. Trova il limite inferiore L dell'intervallo di confidenza al 99 % per la media.
x̄ = 202,8σ = 15n = 8199%
L =
3Soluzioni
1.Statistica per la pratica basata sulle evidenze
Risposta: OR = 1,58
Rapporti di verosimiglianza e misure di rischio: LR+ = sensibilità/(1 − specificità), LR− = (1 − sensibilità)/specificità. In uno studio clinico, EER e CER sono i tassi di eventi con e senza trattamento: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER e NNT = 1/ARR, arrotondato per eccesso. In uno studio caso-controllo si può usare solo l’odds ratio OR = ad/(bc). Un tasso di incidenza = nuovi casi/persone-tempo.
Odds di esposizione
casi: 150/190 = 0,7895
controlli: 30/60 = 0,5
Odds ratio
OR = (150·60)/(30·190) = 1,579 ≈ 1,58
Risposta
OR = 1,58
OR superiore a 1: l’esposizione è più comune tra i casi.
2.Statistica per la pratica basata sulle evidenze
Risposta: FN = 35
I valori predittivi dipendono dalla prevalenza: VPP = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)) e VPN = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p). Con i rapporti di verosimiglianza: odds pre-test = p/(1 − p), odds post-test = odds pre-test × LR, probabilità = odds/(1 + odds). Per una popolazione di N, veri positivi = N·p·Se e falsi positivi = N·(1 − p)·(1 − Sp). NNT = 1/(CER × RRR), arrotondato per eccesso.
Con e senza la malattia
10 000·0,05 = 500
10 000 − 500 = 9500
Falsi negativi
FN = 500·0,07 = 35
Risposta
FN = 35
3.Statistica descrittiva
Risposta: s = 11,56
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = (515 − 500)/25 = 0,6
Risposta
z = 0,6
5.Intervalli di confidenza
Risposta: limite superiore = 10,87 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Stima puntuale
x̄₁ − x̄₂ = 54 − 45,5 = 8,5
Errore standard
SE = √(5²/100 + 11²/100) = 1,208
Margine di errore
E = 1,96·1,208 = 2,368
Intervallo
8,5 ± 2,368 → [6,132, 10,87]
Risposta
limite superiore = 10,87 h
L’intervallo non contiene 0, quindi le medie differiscono in modo significativo.
6.Intervalli di confidenza
Risposta: n = 308
Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.
Ricava n
n = (1,645·32/3)² = 307,9
Arrotonda per eccesso
La numerosità campionaria è un numero intero, e arrotondare per difetto renderebbe il margine troppo grande.
n = 308
Risposta
n = 308
7.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: t = −2,108
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Varianza combinata
sp² = (5·9² + 5·10,5²)/10 = 95,63
sp = 9,779
Errore standard
SE = 9,779·√(1/6 + 1/6) = 5,646
Statistica test
t = (85,5 − 97,4)/5,646 = −2,108
Risposta
t = −2,108
Con df = 10, il valore critico bilaterale al 5% è 2,228; |t| è minore, quindi H₀ non viene rifiutata.
8.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: L = 198,5
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).