Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 30 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
La trave semplicemente appoggiata ha una cerniera in A e un carrello in B. Trova la reazione vincolare verticale RA.
La trave semplicemente appoggiata ha una cerniera in A e un carrello in B. Un carico P agisce a 1,5 m da A, inclinato di 30° rispetto all’orizzontale, e un carico verticale Q agisce a 3,5 m da A. Trova il modulo della reazione totale RA nella cerniera A.
Usa il metodo dei nodi per trovare la forza FAB nell’asta AB. Indica la trazione come positiva e la compressione come negativa.
Esattamente un’asta di questa travatura non porta alcuno sforzo con questi carichi. Qual è l’asta scarica? Cliccala nel diagramma.
Trova il momento flettente Mx nella sezione x = 5,5 m dall’appoggio A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.
Trova il momento flettente Mx nella sezione x = 4,5 m dall’appoggio A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.
Una mensola porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la lunghezza. Trova la freccia δ all’estremo libero.
Una mensola puntellata è incastrata in A e semplicemente appoggiata (puntellata) in B. Porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la lunghezza. EI è costante. Trova la reazione RB al puntello.
Una colonna di lunghezza L in alluminio è incastrata alla base e libera in cima. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico Pcr.
Una colonna tonda piena di lunghezza L in acciaio è incernierata a entrambi gli estremi. Deve portare 120 kN con un coefficiente di sicurezza di 2,5 contro l’instabilità. Trova il diametro minimo d.
Trova il momento d’inerzia Ix della sezione a T rispetto all’asse orizzontale x passante per il baricentro.
Una sezione a I saldata ha un’ala superiore 180 × 22 mm, un’anima alta 350 mm e spessa 16 mm, e un’ala inferiore 210 × 20 mm (larghezza × spessore). Trova il suo momento d’inerzia Ix rispetto all’asse orizzontale x passante per il baricentro.
Per il profilo del terreno mostrato, trova la tensione verticale efficace σ′ nel punto X.
Per il profilo del terreno mostrato, trova la tensione verticale totale σ nel punto X.
Uno strato di argilla sovraconsolidata spesso 2 m ha Cc = 0,35, Cr = 0,05 ed e₀ = 0,95. A metà profondità la tensione verticale efficace è 110 kPa e la pressione di preconsolidazione è 150 kPa. Un nuovo edificio aggiunge 20 kPa di tensione verticale a metà profondità. Trova il cedimento di consolidazione primaria S in mm.
Uno strato di argilla spesso 2,5 m ha un coefficiente di consolidazione cv = 5 m²/anno. Poggia su roccia impermeabile, con sabbia sopra, quindi l’acqua drena solo in alto. Per una consolidazione media del 80% il fattore di tempo è Tv = 0,567. Quanti anni t impiega lo strato per raggiungere il 80% di consolidazione?
Una paratoia rettangolare verticale larga 1,5 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 2,5 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.
Una paratoia rettangolare verticale larga 1,5 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 2 m sotto la superficie. Trova la profondità ycp del centro di spinta sotto la superficie.
Acqua scorre con una portata di 15 L/s in un tubo lungo 1000 m con diametro interno di 75 mm. Usa il fattore di attrito di Darcy f = 0,03 e g = 9,81 m/s². Trova la perdita di carico per attrito hf.
Due serbatoi aperti sono collegati da un tubo lungo 200 m con diametro interno di 300 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,02. Le perdite localizzate sono: un imbocco a spigolo vivo (K = 0,5), 2 curve (K = 0,3 ciascuna), una valvola (K = 0,2) e lo sbocco nel serbatoio inferiore (K = 1,0). Usa g = 9,81 m/s². Quale dislivello Δz tra i peli liberi dei serbatoi dà una portata di 75 L/s?
Un canale trapezoidale in ghiaia ha una larghezza di fondo di 5 m e una scarpa delle sponde di 3:1 (orizzontale:verticale). L’acqua scorre in moto uniforme con un’altezza di 1 m. n di Manning = 0,025 e la pendenza del fondo è S = 0,005. Trova la portata Q in m³/s.
Un collettore in calcestruzzo con diametro interno di 200 mm (n di Manning = 0,013) deve raggiungere, quando scorre appena pieno, una velocità di autopulizia di 0,75 m/s. Trova la pendenza minima S (in m/m).
In una prova, una pompa eroga 10 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) con una prevalenza di 60 m mentre il suo albero assorbe 7,4 kW. Usa g = 9,81 m/s². Trova il rendimento della pompa η in percentuale.
Una pompa trasferisce 50 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) da un serbatoio inferiore aperto a una vasca superiore il cui pelo libero è 20 m più in alto. Il tubo è lungo 100 m, con diametro interno di 150 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,025; i coefficienti di perdita localizzata sommano a ΣK = 6 (imbocco e sbocco compresi). Usa g = 9,81 m/s². Il rendimento della pompa è del 72%. Trova la potenza all’albero Pshaft in kW.
Investi €1 000 al 8% annuo con capitalizzazione continua. Trova il valore FV dopo 6 anni.
Un prestito di €25 000 viene rimborsato con rate mensili costanti in 5 anni al 3,6% annuo, capitalizzato mensilmente. Quanti interessi I si pagano in totale sull’intera durata del prestito?
Un investimento di €45 000 genera questi flussi alla fine degli anni da 1 a 4: €15 000, €10 000, €9 000, €14 000. Il costo del capitale è del 8 %. Trova il valore attuale netto NPV.
Un progetto costa €50 000 e restituisce €30 500, €34 500, €29 500 alla fine degli anni da 1 a 3. Trova il suo tasso interno di rendimento IRR in percentuale.
Supponi che i tempi di consegna abbiano una distribuzione normale con media 32 min e deviazione standard 6 min. Quale frazione è compresa tra 23,3 e 39,5 min? Dai P come numero decimale.
La massa X di un prodotto della linea 1 e Y della linea 2 sono indipendenti e normali: X ha media 500 g e deviazione standard 8 g, Y ha media 490 g e deviazione standard 6 g. Trova la probabilità P che X sia maggiore di Y. Arrotonda z a due decimali.
Risposta: RA = 49,38 kN
Equilibrio statico: un corpo in quiete ha ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 rispetto a qualsiasi punto. Prendere i momenti rispetto a un appoggio elimina la reazione di quell’appoggio dall’equazione.
Sostituisci i vincoli con le forze di reazione. Un carrello dà una reazione verticale; con soli carichi verticali anche la cerniera dà una sola reazione verticale.
Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario. Poi equilibrio delle forze verticali.
Risposta: RA = 60,32 kN
Equilibrio statico: un corpo in quiete ha ΣFx = 0, ΣFy = 0 e ΣM = 0 rispetto a qualsiasi punto. Sostituisci ogni carico distribuito con la sua risultante (la sua area) applicata nel baricentro del diagramma di carico, e fai l’equilibrio dei momenti rispetto a un appoggio per eliminare dall’equazione la reazione di quell’appoggio.
Risposta: FAB = −7,731 kN
Metodo dei nodi: ogni nodo di una travatura è in equilibrio, quindi ΣFx = 0 e ΣFy = 0 in ogni nodo. Inizia da un nodo con al massimo due forze incognite. Un risultato negativo significa che l’asta è compressa.
Equilibrio dell’intera travatura. Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario.
Supponi che ogni asta sia in trazione (che tiri via dal nodo). Solo AB ha una componente verticale in A.
Risposta: asta CG
Aste scariche: in un nodo, le forze devono equilibrarsi in ogni direzione. Se un nodo non ha carico né appoggio, e due delle sue tre aste sono allineate, allora l’equilibrio perpendicolare a quella retta coinvolge solo la terza asta, quindi il suo sforzo è zero. Se in un nodo scarico si incontrano solo due aste non allineate, entrambe sono scariche.
BC e CD stanno su una sola retta e il nodo non porta alcun carico. Equilibrare le forze perpendicolarmente a quella retta lascia solo CG.
Risolvendo tutti i nodi si ottengono questi sforzi nelle aste (T = trazione, C = compressione).
Risposta: Mx = 82,5 kN·m
Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio.
Equilibrio dell’intera trave.
Compaiono solo le forze a sinistra del taglio. Una porzione di carico distribuito agisce come un’unica forza al centro di quella porzione.
Risposta: Mx = 38,25 kN·m
Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio.
Equilibrio dell’intera trave.
Compaiono solo le forze a sinistra del taglio. Una porzione di carico distribuito agisce come un’unica forza al centro di quella porzione.
Risposta: δ = 40,4 mm
Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).
Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.
Risposta: RB = 33,75 kN
Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione). Per una trave iperstatica, rimuovi un vincolo sovrabbondante e imponi che lì la freccia sia nulla (congruenza).
Senza il puntello la trave è una mensola. Il suo estremo libero si abbasserebbe sotto il carico.
La sola forza del puntello RB solleva l’estremo libero di RBL³/(3EI). Il puntello mantiene B a freccia nulla, quindi i due effetti devono annullarsi. EI si semplifica.
Risposta: Pcr = 7,772 kN
Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a Pcr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.
Un rettangolo sbanda attorno al suo asse debole, usando il cubo della dimensione minore.
Risposta: d = 41,95 mm
Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a Pcr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.
Verifica: la snellezza KL/r è 95,36, quindi la colonna è snella e vale Eulero.
Risposta: Ix = 71,89 × 10⁶ mm⁴
Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.
Misura ogni y dal bordo inferiore.
Risposta: Ix = 338,1 × 10⁶ mm⁴
Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.
Misura ogni y dal bordo inferiore.
Risposta: σ′ = 137,9 kPa
Tensione efficace (Terzaghi): lo scheletro solido porta σ′ = σ − u. La tensione totale σ è il peso di tutto ciò che sta sopra il punto, Σγ·h, usando il peso di volume secco sopra la falda e quello saturo sotto. Sotto la falda la pressione interstiziale è idrostatica: u = γw·(profondità sotto la falda).
Somma il peso di ogni fascia di terreno sopra X. Sopra la falda usa il peso di volume secco, sotto quello saturo.
La pressione dell’acqua cresce con la profondità sotto la falda.
Risposta: σ = 122,3 kPa
Tensione efficace (Terzaghi): lo scheletro solido porta σ′ = σ − u. La tensione totale σ è il peso di tutto ciò che sta sopra il punto, Σγ·h, usando il peso di volume secco sopra la falda e quello saturo sotto. Sotto la falda la pressione interstiziale è idrostatica: u = γw·(profondità sotto la falda).
Somma il peso di ogni fascia di terreno sopra X. Sopra la falda usa il peso di volume secco, sotto quello saturo.
Risposta: S = 3,721 mm
Consolidazione primaria di uno strato di argilla di spessore H, usando la tensione efficace a metà dello strato: σ′f = σ′0 + Δσ. Argilla normalmente consolidata: S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0). Un’argilla sovraconsolidata si ricomprime lungo Cr fino alla pressione di preconsolidazione σ′p e segue Cc solo oltre di essa. Tempo: t = Tv·Hdr²/cv, dove il percorso di drenaggio Hdr è H/2 quando l’acqua può uscire in alto e in basso, e H quando drena un solo lato.
L’argilla resta sulla sua retta di ricompressione.
Risposta: t = 0,7087 anni
Consolidazione primaria di uno strato di argilla di spessore H, usando la tensione efficace a metà dello strato: σ′f = σ′0 + Δσ. Argilla normalmente consolidata: S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0). Un’argilla sovraconsolidata si ricomprime lungo Cr fino alla pressione di preconsolidazione σ′p e segue Cc solo oltre di essa. Tempo: t = Tv·Hdr²/cv, dove il percorso di drenaggio Hdr è H/2 quando l’acqua può uscire in alto e in basso, e H quando drena un solo lato.
Risposta: F = 103 kN
Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·yc·A. Agisce nel centro di spinta, ycp = yc + Ic/(ycA), che si trova sempre sotto il baricentro.
Risposta: ycp = 2,818 m
Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·yc·A. Agisce nel centro di spinta, ycp = yc + Ic/(ycA), che si trova sempre sotto il baricentro.
La pressione cresce con la profondità, quindi la risultante agisce sotto il baricentro.
Risposta: hf = 235 m
Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate hm = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = hf + hm, compresa la perdita allo sbocco K = 1.
Risposta: Δz = 0,897 m
Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate hm = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = hf + hm, compresa la perdita allo sbocco K = 1.
Risposta: Q = 17,95 m³/s
Equazione di Manning (SI): per il moto uniforme in un canale a pelo libero V = (1/n)·R2/3·S1/2 e Q = A·V, con n il coefficiente di scabrezza, S la pendenza del fondo (m/m) e R = A/P il raggio idraulico: area bagnata divisa per il perimetro bagnato. In P conta solo il contorno a contatto con l’acqua, non la superficie libera. Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y. Trapezio con scarpa delle sponde z:1 (orizzontale:verticale): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Un tubo circolare pieno o mezzo pieno ha R = D/4.
Risposta: S = 0,005161 m/m
Equazione di Manning (SI): per il moto uniforme in un canale a pelo libero V = (1/n)·R2/3·S1/2 e Q = A·V, con n il coefficiente di scabrezza, S la pendenza del fondo (m/m) e R = A/P il raggio idraulico: area bagnata divisa per il perimetro bagnato. In P conta solo il contorno a contatto con l’acqua, non la superficie libera. Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y. Trapezio con scarpa delle sponde z:1 (orizzontale:verticale): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Un tubo circolare pieno o mezzo pieno ha R = D/4.
Questo corrisponde a un dislivello di 5,161 m per chilometro.
Risposta: η = 79,54 %
Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: Pshaft = Ph/ηpump, e il motore assorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.
Risposta: Pshaft = 19,93 kW
Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: Pshaft = Ph/ηpump, e il motore assorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.
Risposta: FV = 1616 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Risposta: I = 2355 €
Valore temporale del denaro: il denaro di oggi vale più della stessa somma in futuro, perché può fruttare interessi. Con un tasso i per periodo, un importo cresce a FV = PV·(1 + i)n. Una serie di pagamenti uguali (una rendita) si valuta sommando ogni pagamento, da cui le formule delle rendite.
Risposta: NPV = −5103 €
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Il VAN è negativo, quindi il progetto rende meno del rendimento richiesto.
Risposta: IRR = 40,22 %
Valore attuale netto: attualizza ogni flusso di cassa a oggi con il rendimento richiesto r, poi sommali: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un progetto con NPV > 0 rende più di r e crea valore. Il tasso interno di rendimento (TIR) è il tasso per cui NPV = 0.
Il VAN scende quando il tasso sale, quindi il TIR sta tra un tasso con VAN positivo e uno con VAN negativo.
L'interpolazione lineare dà una prima stima; ripeterla (o usare la funzione TIR di una calcolatrice) dà il tasso esatto.
Risposta: P = 0,8208
Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.
Risposta: P = 0,8413
Somme e differenze di variabili normali: se X e Y sono indipendenti e normali, anche X + Y e X − Y sono normali. Le medie si sommano o si sottraggono: E(X ± Y) = μX ± μY. Le varianze si sommano sempre, anche per una differenza: Var(X ± Y) = σX² + σY², quindi σ = √(σX² + σY²). Le deviazioni standard non si sommano mai direttamente. Il totale di n elementi indipendenti con la stessa distribuzione ha media n·μ e deviazione standard σ·√n. Poi standardizza come al solito: z = (x − media)/σ e leggi Φ(z).
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