Meccanica dei fluidi: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 8 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Spinta idrostatica

Pressione a una profondità: p = ρgh
Forza su una parete verticale: F = ρg·h_c·A
Centro di spinta: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rettangolo: I_c = bH³/12

Continuità e Bernoulli

Continuità: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Portata: Q = A·v
Area del cerchio: A = πd²/4

Attrito nei condotti e perdite di carico

Numero di Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime di moto: laminare sotto Re ≈ 2000, turbolento sopra Re ≈ 4000
Velocità media: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdite localizzate: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valori tipici di K: imbocco 0,5, sbocco 1,0, curva a 90° ≈ 0,3
Caduta di pressione: Δp = ρ·g·h_f
Due serbatoi aperti: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Sbocco libero: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompe e potenza delle pompe

Potenza idraulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potenza all’albero: P_shaft = P_h/η_pump
Potenza elettrica: P_el = P_shaft/η_motor
Prevalenza della pompa: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Perdite dell’impianto: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Esercizi

1.Spinta idrostaticaMedia

Una paratoia rettangolare verticale larga 1,5 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 1 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.

d = 1 mH = 1,5 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Spinta idrostaticaDifficile

Una paratoia rettangolare verticale larga 1 m si trova nella parete di un serbatoio di glicerina, con il bordo superiore 2 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.

d = 2 mH = 3 mb = 1 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Continuità e BernoulliMedia

L’acqua scorre in un tubo orizzontale che si restringe da 150 mm a 75 mm. Nel tratto largo la pressione è 380 kPa e la velocità è 1,75 m/s. Trascurando le perdite, trova la pressione p₂ nel tratto stretto.

d₁ = 150 mmd₂ = 75 mmp₁ = 380 kPav₁ = 1,75 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.Continuità e BernoulliDifficile

L’ugello di una fontana è rivolto verso l’alto. Appena sotto l’ugello il tubo di alimentazione ha un diametro di 100 mm e una pressione relativa di 140 kPa. Il diametro di uscita dell’ugello è 25 mm e il dislivello attraverso l’ugello è trascurabile. Trascurando le perdite e la resistenza dell’aria, trova l’altezza H a cui il getto sale sopra l’ugello. Usa g = 9,81 m/s².

d₁ = 100 mmp₁ = 140 kPa (relativa)d₂ = 25 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

H = m

5.Attrito nei condotti e perdite di caricoMedia

Acqua scorre con una portata di 5 L/s in un tubo lungo 50 m con diametro interno di 50 mm. Usa il fattore di attrito di Darcy f = 0,02 e g = 9,81 m/s². Trova la perdita di carico per attrito h_f.

Q = 5 L/sL = 50 mD = 50 mmf = 0,02g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Attrito nei condotti e perdite di caricoDifficile

Due serbatoi aperti sono collegati da un tubo lungo 100 m con diametro interno di 250 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,02. Il pelo libero del serbatoio superiore si trova 18 m sopra quello del serbatoio inferiore. Le perdite localizzate sono: un imbocco a spigolo vivo (K = 0,5), 4 curve (K = 0,3 ciascuna), una valvola (K = 5) e lo sbocco nel serbatoio inferiore (K = 1,0). Usa g = 9,81 m/s². Trova la portata Q in L/s.

Δz = 18 mL = 100 mD = 250 mmf = 0,02K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 5K_exit = 1,0

Q = L/s

7.Pompe e potenza delle pompeMedia

Una pompa con rendimento del 70% eroga 40 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) con una prevalenza di 72 m. Usa g = 9,81 m/s². Trova la potenza all’albero P_shaft necessaria, in kW.

Q = 40 L/sH = 72 mη = 70%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

8.Pompe e potenza delle pompeDifficile

Una pompa trasferisce 100 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) da un serbatoio inferiore aperto a una vasca superiore il cui pelo libero è 12 m più in alto. Il tubo è lungo 300 m, con diametro interno di 250 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,025; i coefficienti di perdita localizzata sommano a ΣK = 5 (imbocco e sbocco compresi). Usa g = 9,81 m/s². Trova la prevalenza H che la pompa deve fornire.

Q = 100 L/sΔz = 12 mL = 300 mD = 250 mmf = 0,025ΣK = 5

H = m

3Soluzioni

1.Spinta idrostatica

Risposta: F = 38,63 kN

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·y_c·A. Agisce nel centro di spinta, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

y_c = d + H/2 = 1 + 1,5/2 = 1,75 m

A = H·b = 1,5·1,5 = 2,25 m²

Forza risultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·1,75·2,25 = 38,63 kN

Risposta

F = 38,63 kN

2.Spinta idrostatica

Risposta: F = 129,8 kN

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·y_c·A. Agisce nel centro di spinta, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

y_c = d + H/2 = 2 + 3/2 = 3,5 m

A = H·b = 3·1 = 3 m²

Forza risultante

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·3,5·3 = 129,8 kN

Risposta

F = 129,8 kN

3.Continuità e Bernoulli

Risposta: p₂ = 357 kPa

Continuità e Bernoulli: per un fluido incomprimibile la portata è la stessa in ogni sezione, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Lungo una linea di flusso senza perdite, p + ½ρv² + ρgz è costante, quindi dove il fluido è più veloce o più in alto la sua pressione è minore.

Continuità e Bernoulli

Lavora in Pa, poi dividi per 1000 per ottenere kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1,75·(150/75)² = 7 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1,75² − 7²)/1000 = −22,97 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 380 + (−22,97) = 357 kPa

Risposta

p₂ = 357 kPa

4.Continuità e Bernoulli

Risposta: H = 14,33 m

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Velocità di uscita

β = 25/100 = 0,25

v₂ = √(2p₁/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·140000/(1000·0,9961)) = 16,77 m/s

Altezza del getto

Bernoulli lungo il getto: in cima la velocità è nulla e la pressione è di nuovo atmosferica.

H = v₂²/(2g) = 16,77²/(2·9,81) = 14,33 m

Risposta

H = 14,33 m

5.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: h_f = 6,61 m

Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate h_m = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = h_f + h_m, compresa la perdita allo sbocco K = 1.

Velocità media

A = π·0,05²/4 = 0,001963 m²

V = Q/A = 0,005/0,001963 = 2,546 m/s

Altezza cinetica

V²/(2g) = 2,546²/(2·9,81) = 0,3305 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,02·(50/0,05)·2,546²/(2·9,81) = 6,61 m

Risposta

h_f = 6,61 m

6.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: Q = 232,8 L/s

Coefficienti di perdita

f·L/D = 0,02·100/0,25 = 8

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 5 + 1,0 = 7,7

Equazione dell’energia

Entrambe le superfici sono aperte all’aria e praticamente in quiete, quindi tutto Δz viene perso nel tubo.

18 = (8 + 7,7)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·18/15,7) = 4,743 m/s

Portata

Q = V·π·D²/4 = 4,743·0,04909 = 0,2328 m³/s = 232,8 L/s

Risposta

Q = 232,8 L/s

7.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: P_shaft = 40,36 kW

Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: P_shaft = P_h/η_pump, e il motore assorbe P_el = P_shaft/η_motor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.

Potenza idraulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,04·72 = 28,25 kW

Potenza all’albero

P_shaft = P_h/η = 28,25/0,7 = 40,36 kW

Risposta

P_shaft = 40,36 kW

8.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: H = 19,4 m

Velocità

V = Q/A = 0,1/0,04909 = 2,037 m/s

V²/(2g) = 0,2115 m

Perdite di carico

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (30 + 5)·0,2115 = 7,403 m

Prevalenza della pompa

Entrambe le superfici sono aperte e praticamente in quiete, quindi i termini di pressione e di velocità si annullano.

H = Δz + h_L = 12 + 7,403 = 19,4 m

Risposta

H = 19,4 m

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