Meccanica dei fluidi: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 8 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

Nuovi esercizi Torna al corso

Nella finestra di stampa scegli “Salva come PDF” per conservarne una copia sul tuo dispositivo.

1Formule e metodi

Spinta idrostatica

Pressione a una profondità: p = ρgh
Forza su una parete verticale: F = ρg·h_c·A
Centro di spinta: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rettangolo: I_c = bH³/12

Continuità e Bernoulli

Continuità: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Portata: Q = A·v
Area del cerchio: A = πd²/4

Attrito nei condotti e perdite di carico

Numero di Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime di moto: laminare sotto Re ≈ 2000, turbolento sopra Re ≈ 4000
Velocità media: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdite localizzate: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valori tipici di K: imbocco 0,5, sbocco 1,0, curva a 90° ≈ 0,3
Caduta di pressione: Δp = ρ·g·h_f
Due serbatoi aperti: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Sbocco libero: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompe e potenza delle pompe

Potenza idraulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potenza all’albero: P_shaft = P_h/η_pump
Potenza elettrica: P_el = P_shaft/η_motor
Prevalenza della pompa: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Perdite dell’impianto: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Esercizi

1.Spinta idrostaticaMedia

Una paratoia rettangolare verticale larga 1 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 2 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.

d = 2 mH = 2 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Spinta idrostaticaDifficile

Una paratoia rettangolare verticale larga 2 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua di mare, con il bordo superiore 3 m sotto la superficie. Trova la profondità y_cp del centro di spinta sotto la superficie.

d = 3 mH = 3 mb = 2 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Continuità e BernoulliMedia

Acqua defluisce da un grande serbatoio aperto attraverso una luce a spigolo vivo con diametro di 25 mm. Il livello dell’acqua è mantenuto 2 m sopra la luce e il coefficiente di efflusso è 0,62. Trova la portata Q. Usa g = 9,81 m/s².

d = 25 mmh = 2 mC_d = 0,62g = 9,81 m/s²

Q = L/s

4.Continuità e BernoulliDifficile

L’ugello di una fontana è rivolto verso l’alto. Appena sotto l’ugello il tubo di alimentazione ha un diametro di 100 mm e una pressione relativa di 80 kPa. Il diametro di uscita dell’ugello è 25 mm e il dislivello attraverso l’ugello è trascurabile. Trascurando le perdite e la resistenza dell’aria, trova l’altezza H a cui il getto sale sopra l’ugello. Usa g = 9,81 m/s².

d₁ = 100 mmp₁ = 80 kPa (relativa)d₂ = 25 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

H = m

5.Attrito nei condotti e perdite di caricoMedia

Acqua scorre con una velocità media di 2,3 m/s in un tubo lungo 100 m con diametro interno di 50 mm. Usa il fattore di attrito di Darcy f = 0,022 e g = 9,81 m/s². Trova la perdita di carico per attrito h_f.

V = 2,3 m/sL = 100 mD = 50 mmf = 0,022g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Attrito nei condotti e perdite di caricoDifficile

Due serbatoi aperti sono collegati da un tubo lungo 500 m con diametro interno di 300 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,015. Le perdite localizzate sono: un imbocco a spigolo vivo (K = 0,5), 3 curve (K = 0,3 ciascuna), una valvola (K = 5) e lo sbocco nel serbatoio inferiore (K = 1,0). Usa g = 9,81 m/s². Quale dislivello Δz tra i peli liberi dei serbatoi dà una portata di 120 L/s?

Q = 120 L/sL = 500 mD = 300 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 5K_exit = 1,0

Δz = m

7.Pompe e potenza delle pompeMedia

Una pompa eroga 100 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) con una prevalenza di 46 m. Il rendimento della pompa è del 85% e il motore elettrico che la aziona ha un rendimento del 92%. Usa g = 9,81 m/s². Trova la potenza elettrica P_el assorbita dal motore, in kW.

Q = 100 L/sH = 46 mη_pump = 85%η_motor = 92%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

8.Pompe e potenza delle pompeDifficile

Una pompa trasferisce 40 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) da un serbatoio inferiore aperto a una vasca superiore il cui pelo libero è 6 m più in alto. Il tubo è lungo 400 m, con diametro interno di 150 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,02; i coefficienti di perdita localizzata sommano a ΣK = 6 (imbocco e sbocco compresi). Usa g = 9,81 m/s². Trova la prevalenza H che la pompa deve fornire.

Q = 40 L/sΔz = 6 mL = 400 mD = 150 mmf = 0,02ΣK = 6

H = m

3Soluzioni

1.Spinta idrostatica

Risposta: F = 58,86 kN

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·y_c·A. Agisce nel centro di spinta, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

y_c = d + H/2 = 2 + 2/2 = 3 m

A = H·b = 2·1 = 2 m²

Forza risultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3·2 = 58,86 kN

Risposta

F = 58,86 kN

2.Spinta idrostatica

Risposta: y_cp = 4,667 m

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·y_c·A. Agisce nel centro di spinta, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

y_c = d + H/2 = 3 + 3/2 = 4,5 m

A = H·b = 3·2 = 6 m²

Forza risultante

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·4,5·6 = 271,5 kN

Centro di spinta

La pressione cresce con la profondità, quindi la risultante agisce sotto il baricentro.

I_c = b·H³/12 = 2·3³/12 = 4,5 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 4,5 + 4,5/(4,5·6) = 4,667 m

Risposta

y_cp = 4,667 m

3.Continuità e Bernoulli

Risposta: Q = 1,906 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Velocità ideale del getto

√(2gh) = √(2·9,81·2) = 6,264 m/s

Portata reale

Il coefficiente di efflusso tiene conto della contrazione del getto e dell’attrito sul bordo.

Q = C_d·A·√(2gh) = 0,62·0,0004909·6,264 = 0,001906 m³/s = 1,906 L/s

Risposta

Q = 1,906 L/s

4.Continuità e Bernoulli

Risposta: H = 8,187 m

Velocità di uscita

β = 25/100 = 0,25

v₂ = √(2p₁/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·80000/(1000·0,9961)) = 12,67 m/s

Altezza del getto

Bernoulli lungo il getto: in cima la velocità è nulla e la pressione è di nuovo atmosferica.

H = v₂²/(2g) = 12,67²/(2·9,81) = 8,187 m

Risposta

H = 8,187 m

5.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: h_f = 11,86 m

Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate h_m = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = h_f + h_m, compresa la perdita allo sbocco K = 1.

Altezza cinetica

V²/(2g) = 2,3²/(2·9,81) = 0,2696 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,022·(100/0,05)·2,3²/(2·9,81) = 11,86 m

Risposta

h_f = 11,86 m

6.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: Δz = 4,759 m

Velocità

V = Q/A = 0,12/0,07069 = 1,698 m/s

V²/(2g) = 0,1469 m

Coefficienti di perdita

f·L/D = 0,015·500/0,3 = 25

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 5 + 1,0 = 7,4

Perdita di carico totale

h_f = 25·0,1469 = 3,672 m

h_m = 7,4·0,1469 = 1,087 m

Δz = h_f + h_m = 4,759 m

Risposta

Δz = 4,759 m

7.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: P_el = 57,71 kW

Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: P_shaft = P_h/η_pump, e il motore assorbe P_el = P_shaft/η_motor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.

Potenza idraulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,1·46 = 45,13 kW

Potenza all’albero

P_shaft = 45,13/0,85 = 53,09 kW

Potenza elettrica

P_el = 53,09/0,92 = 57,71 kW

Risposta

P_el = 57,71 kW

8.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: H = 21,49 m

Velocità

V = Q/A = 0,04/0,01767 = 2,264 m/s

V²/(2g) = 0,2611 m

Perdite di carico

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (53,33 + 6)·0,2611 = 15,49 m

Prevalenza della pompa

Entrambe le superfici sono aperte e praticamente in quiete, quindi i termini di pressione e di velocità si annullano.

H = Δz + h_L = 6 + 15,49 = 21,49 m

Risposta

H = 21,49 m

ExamProblems · examproblems.com/courses/fluid-mechanics