Meccanica dei fluidi: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 8 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Spinta idrostatica

Pressione a una profondità
p = ρgh
Forza su una parete verticale
F = ρg·hc·A
Centro di spinta
yp = yc + Ic/(ycA)
Rettangolo
Ic = bH³/12

Continuità e Bernoulli

Continuità
A1v1 = A2v2
Bernoulli
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
Portata
Q = A·v
Area del cerchio
A = πd²/4

Attrito nei condotti e perdite di carico

Numero di Reynolds
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime di moto
laminare sotto Re ≈ 2000, turbolento sopra Re ≈ 4000
Velocità media
V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdite localizzate
hm = ΣK·V²/(2g)
Valori tipici di K
imbocco 0,5, sbocco 1,0, curva a 90° ≈ 0,3
Caduta di pressione
Δp = ρ·g·hf
Due serbatoi aperti
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Sbocco libero
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompe e potenza delle pompe

Potenza idraulica
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potenza all’albero
Pshaft = Ph/ηpump
Potenza elettrica
Pel = Pshaft/ηmotor
Prevalenza della pompa
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
Perdite dell’impianto
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Esercizi

1.Spinta idrostaticaMedia
paratoiad = 2 mH = 3 m

Una paratoia rettangolare verticale larga 1 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 2 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.

d = 2 mH = 3 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Spinta idrostaticaDifficile
paratoiad = 3 mH = 3 m

Una paratoia rettangolare verticale larga 3 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 3 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.

d = 3 mH = 3 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3.Continuità e BernoulliMedia
d1​ = 100 mmd2​ = 60 mm12p1​ − p2​ = 48 kPaQ = ?

Acqua scorre in un venturimetro orizzontale con diametro d’ingresso di 100 mm e diametro della gola di 60 mm. La pressione all’ingresso è 48 kPa più alta che nella gola. Trascurando le perdite, trova la portata Q.

d1 = 100 mmd2 = 60 mmp1 − p2 = 48 kPaρ = 1000 kg/m³
Q = L/s
4.Continuità e BernoulliDifficile
12d1​ = 200 mm, p1​ = 140 kPad2​ = 100 mm, p2​ = ?Δz = 7 m

L’acqua sale in un tubo che si restringe da 200 mm a 100 mm salendo di 7 m. Nella sezione 1 la pressione è 140 kPa e la velocità è 2,5 m/s. Trascurando le perdite, trova la pressione p2 nella sezione 2.

d1 = 200 mmd2 = 100 mmp1 = 140 kPav1 = 2,5 m/sΔz = 7 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.Attrito nei condotti e perdite di caricoMedia
V = 1,3 m/sD = 75 mmL = 1000 mf = 0,022

Acqua scorre con una velocità media di 1,3 m/s in un tubo lungo 1000 m con diametro interno di 75 mm. Usa il fattore di attrito di Darcy f = 0,022 e g = 9,81 m/s². Trova la perdita di carico per attrito hf.

V = 1,3 m/sL = 1000 mD = 75 mmf = 0,022g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Attrito nei condotti e perdite di caricoDifficile
K = 2Δz = 22 mL = 100 m, D = 150 mm, f = 0,0184× curva (K = 0,3)

Due serbatoi aperti sono collegati da un tubo lungo 100 m con diametro interno di 150 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,018. Il pelo libero del serbatoio superiore si trova 22 m sopra quello del serbatoio inferiore. Le perdite localizzate sono: un imbocco a spigolo vivo (K = 0,5), 4 curve (K = 0,3 ciascuna), una valvola (K = 2) e lo sbocco nel serbatoio inferiore (K = 1,0). Usa g = 9,81 m/s². Trova la portata Q in L/s.

Δz = 22 mL = 100 mD = 150 mmf = 0,018Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×4)Kvalve = 2Kexit = 1,0
Q = L/s
7.Pompe e potenza delle pompeMedia
PQ = 20 L/sH = 48 m

Una pompa eroga 20 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) con una prevalenza di 48 m. Il rendimento della pompa è del 60% e il motore elettrico che la aziona ha un rendimento del 92%. Usa g = 9,81 m/s². Trova la potenza elettrica Pel assorbita dal motore, in kW.

Q = 20 L/sH = 48 mηpump = 60%ηmotor = 92%g = 9,81 m/s²
Pel = kW
8.Pompe e potenza delle pompeDifficile
PQ = 75 L/sΔz = 10 mL = 150 m, D = 200 mm, f = 0,02, ΣK = 3

Una pompa trasferisce 75 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) da un serbatoio inferiore aperto a una vasca superiore il cui pelo libero è 10 m più in alto. Il tubo è lungo 150 m, con diametro interno di 200 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,02; i coefficienti di perdita localizzata sommano a ΣK = 3 (imbocco e sbocco compresi). Usa g = 9,81 m/s². Trova la prevalenza H che la pompa deve fornire.

Q = 75 L/sΔz = 10 mL = 150 mD = 200 mmf = 0,02ΣK = 3
H = m

3Soluzioni

1.Spinta idrostatica

Risposta: F = 103 kN

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·yc·A. Agisce nel centro di spinta, ycp = yc + Ic/(ycA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

yc = d + H/2 = 2 + 3/2 = 3,5 m
A = H·b = 3·1 = 3 m²
paratoiad = 2 mH = 3 mF

Forza risultante

F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·3,5·3 = 103 kN

Risposta

F = 103 kN
2.Spinta idrostatica

Risposta: F = 397,3 kN

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·yc·A. Agisce nel centro di spinta, ycp = yc + Ic/(ycA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

yc = d + H/2 = 3 + 3/2 = 4,5 m
A = H·b = 3·3 = 9 m²
paratoiad = 3 mH = 3 mF

Forza risultante

F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·4,5·9 = 397,3 kN

Risposta

F = 397,3 kN
3.Continuità e Bernoulli

Risposta: Q = 29,69 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Continuità

v1 = v2·(60/100)² = 0,36·v2

Bernoulli tra ingresso e gola

Il tubo è orizzontale, quindi cambiano solo pressione e velocità.

p1 − p2 = ½ρv2²(1 − β⁴)
v2 = √(2·48000/(1000·(1 − 0,1296))) = 10,5 m/s
v1 = 3,781 m/s

Portata

Q = A2·v2 = 0,002827·10,5 = 0,02969 m³/s = 29,69 L/s

Risposta

Q = 29,69 L/s
4.Continuità e Bernoulli

Risposta: p2 = 24,45 kPa

Continuità e Bernoulli: per un fluido incomprimibile la portata è la stessa in ogni sezione, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Lungo una linea di flusso senza perdite, p + ½ρv² + ρgz è costante, quindi dove il fluido è più veloce o più in alto la sua pressione è minore.

Continuità e Bernoulli

Lavora in Pa, poi dividi per 1000 per ottenere kPa.

v2 = v1·(d1/d2)² = 2,5·(200/100)² = 10 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(2,5² − 10²)/1000 = −46,88 kPa
ρgΔz = 1000·9,81·7/1000 = 68,67 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 140 + (−46,88) − 68,67 = 24,45 kPa

Risposta

p2 = 24,45 kPa
5.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: hf = 25,27 m

Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate hm = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = hf + hm, compresa la perdita allo sbocco K = 1.

Altezza cinetica

V²/(2g) = 1,3²/(2·9,81) = 0,08614 m

Darcy–Weisbach

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,022·(1000/0,075)·1,3²/(2·9,81) = 25,27 m

Risposta

hf = 25,27 m
6.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: Q = 89,84 L/s

Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate hm = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = hf + hm, compresa la perdita allo sbocco K = 1.

Coefficienti di perdita

f·L/D = 0,018·100/0,15 = 12
ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 2 + 1,0 = 4,7

Equazione dell’energia

Entrambe le superfici sono aperte all’aria e praticamente in quiete, quindi tutto Δz viene perso nel tubo.

22 = (12 + 4,7)·V²/(2·9,81)
V = √(2·9,81·22/16,7) = 5,084 m/s

Portata

Q = V·π·D²/4 = 5,084·0,01767 = 0,08984 m³/s = 89,84 L/s

Risposta

Q = 89,84 L/s
7.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: Pel = 17,06 kW

Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: Pshaft = Ph/ηpump, e il motore assorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.

Potenza idraulica

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,02·48 = 9,418 kW

Potenza all’albero

Pshaft = 9,418/0,6 = 15,7 kW

Potenza elettrica

Pel = 15,7/0,92 = 17,06 kW

Risposta

Pel = 17,06 kW
8.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: H = 15,23 m

Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: Pshaft = Ph/ηpump, e il motore assorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.

Velocità

V = Q/A = 0,075/0,03142 = 2,387 m/s
V²/(2g) = 0,2905 m

Perdite di carico

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (15 + 3)·0,2905 = 5,229 m

Prevalenza della pompa

Entrambe le superfici sono aperte e praticamente in quiete, quindi i termini di pressione e di velocità si annullano.

H = Δz + hL = 10 + 5,229 = 15,23 m

Risposta

H = 15,23 m

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