Meccanica dei fluidi: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 8 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Spinta idrostatica

Pressione a una profondità: p = ρgh
Forza su una parete verticale: F = ρg·h_c·A
Centro di spinta: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rettangolo: I_c = bH³/12

Continuità e Bernoulli

Continuità: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Portata: Q = A·v
Area del cerchio: A = πd²/4

Attrito nei condotti e perdite di carico

Numero di Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime di moto: laminare sotto Re ≈ 2000, turbolento sopra Re ≈ 4000
Velocità media: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdite localizzate: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valori tipici di K: imbocco 0,5, sbocco 1,0, curva a 90° ≈ 0,3
Caduta di pressione: Δp = ρ·g·h_f
Due serbatoi aperti: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Sbocco libero: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompe e potenza delle pompe

Potenza idraulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potenza all’albero: P_shaft = P_h/η_pump
Potenza elettrica: P_el = P_shaft/η_motor
Prevalenza della pompa: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Perdite dell’impianto: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Esercizi

1.Spinta idrostaticaMedia

Una paratoia rettangolare verticale larga 1,5 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 1 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.

d = 1 mH = 1 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Spinta idrostaticaDifficile

Una paratoia rettangolare verticale larga 2 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua di mare, con il bordo superiore 1 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.

d = 1 mH = 3 mb = 2 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Continuità e BernoulliMedia

Un tubo di Pitot statico in una galleria del vento indica una differenza di 350 Pa tra la pressione di ristagno e la pressione statica. La densità dell’aria è 1,2 kg/m³. Trova la velocità dell’aria v.

p₀ − p = 350 Paρ = 1,2 kg/m³

v = m/s

4.Continuità e BernoulliDifficile

Un serbatoio d’acqua chiuso contiene aria compressa sopra l’acqua a una pressione relativa di 150 kPa. L’acqua esce all’aria aperta attraverso un’apertura con diametro di 40 mm, 3 m sotto il pelo libero. Trascurando le perdite, trova la portata Q. Usa g = 9,81 m/s².

p_air = 150 kPa (relativa)h = 3 md = 40 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

Q = L/s

5.Attrito nei condotti e perdite di caricoMedia

Acqua (ρ = 1000 kg/m³) scorre a 2,8 m/s in un tubo orizzontale lungo 150 m con diametro interno di 150 mm. Usa il fattore di attrito di Darcy f = 0,028 e g = 9,81 m/s². Trova la caduta di pressione Δp lungo il tubo in kPa.

V = 2,8 m/sL = 150 mD = 150 mmf = 0,028ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.Attrito nei condotti e perdite di caricoDifficile

Due serbatoi aperti sono collegati da un tubo lungo 150 m con diametro interno di 300 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,02. Il pelo libero del serbatoio superiore si trova 19 m sopra quello del serbatoio inferiore. Le perdite localizzate sono: un imbocco a spigolo vivo (K = 0,5), 2 curve (K = 0,3 ciascuna), una valvola (K = 5) e lo sbocco nel serbatoio inferiore (K = 1,0). Usa g = 9,81 m/s². Trova la portata Q in L/s.

Δz = 19 mL = 150 mD = 300 mmf = 0,02K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 5K_exit = 1,0

Q = L/s

7.Pompe e potenza delle pompeMedia

Una pompa eroga 40 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) con una prevalenza di 76 m. Il rendimento della pompa è del 82% e il motore elettrico che la aziona ha un rendimento del 95%. Usa g = 9,81 m/s². Trova la potenza elettrica P_el assorbita dal motore, in kW.

Q = 40 L/sH = 76 mη_pump = 82%η_motor = 95%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

8.Pompe e potenza delle pompeDifficile

Una pompa trasferisce 20 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) da un serbatoio inferiore aperto a una vasca superiore il cui pelo libero è 5 m più in alto. Il tubo è lungo 200 m, con diametro interno di 100 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,015; i coefficienti di perdita localizzata sommano a ΣK = 4 (imbocco e sbocco compresi). Usa g = 9,81 m/s². La vasca superiore è chiusa e l’aria sopra l’acqua è a una pressione relativa di 250 kPa. Trova la prevalenza H che la pompa deve fornire.

Q = 20 L/sΔz = 5 mL = 200 mD = 100 mmf = 0,015ΣK = 4p_tank = 250 kPa

H = m

3Soluzioni

1.Spinta idrostatica

Risposta: F = 22,07 kN

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·y_c·A. Agisce nel centro di spinta, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

y_c = d + H/2 = 1 + 1/2 = 1,5 m

A = H·b = 1·1,5 = 1,5 m²

Forza risultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·1,5·1,5 = 22,07 kN

Risposta

F = 22,07 kN

2.Spinta idrostatica

Risposta: F = 150,8 kN

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·y_c·A. Agisce nel centro di spinta, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

y_c = d + H/2 = 1 + 3/2 = 2,5 m

A = H·b = 3·2 = 6 m²

Forza risultante

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·2,5·6 = 150,8 kN

Risposta

F = 150,8 kN

3.Continuità e Bernoulli

Risposta: v = 24,15 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Bernoulli fino al punto di ristagno

Il flusso si arresta alla punta, quindi la sua energia cinetica si manifesta come pressione aggiuntiva.

p₀ − p = ½ρv²

v = √(2·350/1,2) = 24,15 m/s

Risposta

v = 24,15 m/s

4.Continuità e Bernoulli

Risposta: Q = 23,81 L/s

Bernoulli dal pelo libero al getto

v = √(2·(150000/1000 + 9,81·3)) = 18,94 m/s

Portata

Q = A·v = 0,001257·18,94 = 0,02381 m³/s = 23,81 L/s

Risposta

Q = 23,81 L/s

5.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: Δp = 109,8 kPa

Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate h_m = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = h_f + h_m, compresa la perdita allo sbocco K = 1.

Perdita di carico

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,028·(150/0,15)·2,8²/(2·9,81) = 11,19 m

Caduta di pressione

Il tubo è orizzontale e la velocità non cambia, quindi l’equazione dell’energia si riduce a Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·11,19 = 109760 Pa = 109,8 kPa

Risposta

Δp = 109,8 kPa

6.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: Q = 330 L/s

Coefficienti di perdita

f·L/D = 0,02·150/0,3 = 10

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 5 + 1,0 = 7,1

Equazione dell’energia

Entrambe le superfici sono aperte all’aria e praticamente in quiete, quindi tutto Δz viene perso nel tubo.

19 = (10 + 7,1)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·19/17,1) = 4,669 m/s

Portata

Q = V·π·D²/4 = 4,669·0,07069 = 0,33 m³/s = 330 L/s

Risposta

Q = 330 L/s

7.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: P_el = 38,28 kW

Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: P_shaft = P_h/η_pump, e il motore assorbe P_el = P_shaft/η_motor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.

Potenza idraulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,04·76 = 29,82 kW

Potenza all’albero

P_shaft = 29,82/0,82 = 36,37 kW

Potenza elettrica

P_el = 36,37/0,95 = 38,28 kW

Risposta

P_el = 38,28 kW

8.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: H = 41,72 m

Velocità

V = Q/A = 0,02/0,007854 = 2,546 m/s

V²/(2g) = 0,3305 m

Perdite di carico

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (30 + 4)·0,3305 = 11,24 m

Altezza piezometrica

p/(ρ·g) = 250000/(1000·9,81) = 25,48 m

Prevalenza della pompa

Entrambe le superfici sono praticamente in quiete, quindi non c’è il termine dell’altezza cinetica.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 5 + 25,48 + 11,24 = 41,72 m

Risposta

H = 41,72 m

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