Spinta idrostatica
- Pressione a una profondità
- p = ρgh
- Forza su una parete verticale
- F = ρg·hc·A
- Centro di spinta
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Rettangolo
- Ic = bH³/12
Meccanica dei fluidi: pacchetto last-minute
Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 8 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
1Formule e metodi
Continuità e Bernoulli
- Continuità
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Portata
- Q = A·v
- Area del cerchio
- A = πd²/4
Attrito nei condotti e perdite di carico
- Numero di Reynolds
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Regime di moto
- laminare sotto Re ≈ 2000, turbolento sopra Re ≈ 4000
- Velocità media
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Perdite localizzate
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Valori tipici di K
- imbocco 0,5, sbocco 1,0, curva a 90° ≈ 0,3
- Caduta di pressione
- Δp = ρ·g·hf
- Due serbatoi aperti
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Sbocco libero
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Pompe e potenza delle pompe
- Potenza idraulica
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Potenza all’albero
- Pshaft = Ph/ηpump
- Potenza elettrica
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Prevalenza della pompa
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Perdite dell’impianto
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2Esercizi
1.Spinta idrostaticaMedia
Una paratoia rettangolare verticale larga 2 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 3 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.
d = 3 mH = 1 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Spinta idrostaticaDifficile
Una paratoia rettangolare verticale larga 3 m si trova nella parete di un serbatoio di glicerina, con il bordo superiore 4 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.
d = 4 mH = 2,5 mb = 3 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3.Continuità e BernoulliMedia
Acqua defluisce da un grande serbatoio aperto attraverso una luce a spigolo vivo con diametro di 25 mm. Il livello dell’acqua è mantenuto 4,5 m sopra la luce e il coefficiente di efflusso è 0,65. Trova la portata Q. Usa g = 9,81 m/s².
d = 25 mmh = 4,5 mCd = 0,65g = 9,81 m/s²
Q = L/s
4.Continuità e BernoulliDifficile
Un venturimetro orizzontale (ingresso 100 mm, gola 50 mm) è attraversato da acqua. Un manometro differenziale a U a mercurio collegato tra ingresso e gola mostra un dislivello di 220 mm. Il coefficiente di efflusso è 0,97. Trova la portata Q. Usa ρ = 1000 kg/m³ per l’acqua, 13 600 kg/m³ per il mercurio e g = 9,81 m/s².
d1 = 100 mmd2 = 50 mmΔh = 220 mmCd = 0,97ρHg = 13 600 kg/m³g = 9,81 m/s²
Q = L/s
5.Attrito nei condotti e perdite di caricoMedia
Acqua (ρ = 1000 kg/m³) scorre a 0,9 m/s in un tubo orizzontale lungo 1000 m con diametro interno di 75 mm. Usa il fattore di attrito di Darcy f = 0,025 e g = 9,81 m/s². Trova la caduta di pressione Δp lungo il tubo in kPa.
V = 0,9 m/sL = 1000 mD = 75 mmf = 0,025ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.Attrito nei condotti e perdite di caricoDifficile
Un tubo lungo 600 m con diametro interno di 300 mm (fattore di attrito di Darcy f = 0,015) parte da un serbatoio aperto e scarica come getto libero in aria. Le perdite localizzate sono: un imbocco a spigolo vivo (K = 0,5), 3 curve (K = 0,3 ciascuna) e una valvola (K = 5). Usa g = 9,81 m/s². A quale altezza H deve trovarsi il pelo libero del serbatoio sopra lo sbocco del tubo per avere una portata di 150 L/s?
Q = 150 L/sL = 600 mD = 300 mmf = 0,015Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×3)Kvalve = 5
H = m
7.Pompe e potenza delle pompeMedia
Una pompa eroga 25 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) con una prevalenza di 34 m. Il rendimento della pompa è del 70% e il motore elettrico che la aziona ha un rendimento del 94%. Usa g = 9,81 m/s². Trova la potenza elettrica Pel assorbita dal motore, in kW.
Q = 25 L/sH = 34 mηpump = 70%ηmotor = 94%g = 9,81 m/s²
Pel = kW
8.Pompe e potenza delle pompeDifficile
Una pompa trasferisce 40 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) da un serbatoio inferiore aperto a una vasca superiore il cui pelo libero è 6 m più in alto. Il tubo è lungo 100 m, con diametro interno di 200 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,015; i coefficienti di perdita localizzata sommano a ΣK = 5 (imbocco e sbocco compresi). Usa g = 9,81 m/s². Trova la prevalenza H che la pompa deve fornire.
Q = 40 L/sΔz = 6 mL = 100 mD = 200 mmf = 0,015ΣK = 5
H = m
3Soluzioni
1.Spinta idrostatica
Risposta: F = 68,67 kN
Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·yc·A. Agisce nel centro di spinta, ycp = yc + Ic/(ycA), che si trova sempre sotto il baricentro.
Profondità del baricentro e area
yc = d + H/2 = 3 + 1/2 = 3,5 m
A = H·b = 1·2 = 2 m²
Forza risultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·3,5·2 = 68,67 kN
Risposta
F = 68,67 kN
2.Spinta idrostatica
Risposta: F = 486,7 kN
Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·yc·A. Agisce nel centro di spinta, ycp = yc + Ic/(ycA), che si trova sempre sotto il baricentro.
Profondità del baricentro e area
yc = d + H/2 = 4 + 2,5/2 = 5,25 m
A = H·b = 2,5·3 = 7,5 m²
Forza risultante
F = ρ·g·yc·A = 1260·9,81·5,25·7,5 = 486,7 kN
Risposta
F = 486,7 kN
3.Continuità e Bernoulli
Risposta: Q = 2,998 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Velocità ideale del getto
√(2gh) = √(2·9,81·4,5) = 9,396 m/s
Portata reale
Il coefficiente di efflusso tiene conto della contrazione del getto e dell’attrito sul bordo.
Q = Cd·A·√(2gh) = 0,65·0,0004909·9,396 = 0,002998 m³/s = 2,998 L/s
Risposta
Q = 2,998 L/s
4.Continuità e Bernoulli
Risposta: Q = 14,51 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Differenza di pressione dal manometro
Δp = (13600 − 1000)·9,81·0,22 = 27193 Pa
Velocità nella gola
Continuità e Bernoulli insieme danno la velocità ideale nella gola.
β = 50/100 = 0,5
v2 = √(2·27193/(1000·(1 − 0,0625))) = 7,617 m/s
Portata reale
Q = Cd·A2·v2 = 0,97·0,001963·7,617 = 0,01451 m³/s = 14,51 L/s
Risposta
Q = 14,51 L/s
5.Attrito nei condotti e perdite di carico
Risposta: Δp = 135 kPa
Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate hm = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = hf + hm, compresa la perdita allo sbocco K = 1.
Perdita di carico
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,025·(1000/0,075)·0,9²/(2·9,81) = 13,76 m
Caduta di pressione
Il tubo è orizzontale e la velocità non cambia, quindi l’equazione dell’energia si riduce a Δp = ρ·g·hf.
Δp = ρ·g·hf = 1000·9,81·13,76 = 135000 Pa = 135 kPa
Risposta
Δp = 135 kPa
6.Attrito nei condotti e perdite di carico
Risposta: H = 8,584 m
Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate hm = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = hf + hm, compresa la perdita allo sbocco K = 1.
Velocità
V = Q/A = 0,15/0,07069 = 2,122 m/s
V²/(2g) = 0,2295 m
Coefficienti di perdita
f·L/D = 0,015·600/0,3 = 30
ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 5 = 6,4
Equazione dell’energia
Il getto in uscita conserva la sua altezza cinetica; non è una perdita, ma deve essere fornita.
H = (1 + 30 + 6,4)·0,2295 = 8,584 m
Risposta
H = 8,584 m
7.Pompe e potenza delle pompe
Risposta: Pel = 12,67 kW
Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: Pshaft = Ph/ηpump, e il motore assorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.
Potenza idraulica
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,025·34 = 8,338 kW
Potenza all’albero
Pshaft = 8,338/0,7 = 11,91 kW
Potenza elettrica
Pel = 11,91/0,94 = 12,67 kW
Risposta
Pel = 12,67 kW
8.Pompe e potenza delle pompe
Risposta: H = 7,033 m
Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: Pshaft = Ph/ηpump, e il motore assorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.
Velocità
V = Q/A = 0,04/0,03142 = 1,273 m/s
V²/(2g) = 0,08263 m
Perdite di carico
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (7,5 + 5)·0,08263 = 1,033 m
Prevalenza della pompa
Entrambe le superfici sono aperte e praticamente in quiete, quindi i termini di pressione e di velocità si annullano.
H = Δz + hL = 6 + 1,033 = 7,033 m
Risposta
H = 7,033 m
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