Meccanica dei fluidi: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 8 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Spinta idrostatica

Pressione a una profondità: p = ρgh
Forza su una parete verticale: F = ρg·h_c·A
Centro di spinta: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rettangolo: I_c = bH³/12

Continuità e Bernoulli

Continuità: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Portata: Q = A·v
Area del cerchio: A = πd²/4

Attrito nei condotti e perdite di carico

Numero di Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime di moto: laminare sotto Re ≈ 2000, turbolento sopra Re ≈ 4000
Velocità media: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdite localizzate: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valori tipici di K: imbocco 0,5, sbocco 1,0, curva a 90° ≈ 0,3
Caduta di pressione: Δp = ρ·g·h_f
Due serbatoi aperti: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Sbocco libero: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompe e potenza delle pompe

Potenza idraulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potenza all’albero: P_shaft = P_h/η_pump
Potenza elettrica: P_el = P_shaft/η_motor
Prevalenza della pompa: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Perdite dell’impianto: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Esercizi

1.Spinta idrostaticaMedia

Una paratoia rettangolare verticale larga 1,5 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 4 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.

d = 4 mH = 1,5 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Spinta idrostaticaDifficile

Una paratoia rettangolare verticale larga 1 m si trova nella parete di un serbatoio di olio, con il bordo superiore 4 m sotto la superficie. Trova la profondità y_cp del centro di spinta sotto la superficie.

d = 4 mH = 1 mb = 1 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Continuità e BernoulliMedia

Acqua scorre a 26 L/s in un tubo orizzontale che si restringe da 200 mm a 100 mm. La pressione nella sezione stretta è 70 kPa. Trascurando le perdite, trova la pressione p₁ nella sezione larga.

Q = 26 L/sd₁ = 200 mmd₂ = 100 mmp₂ = 70 kPaρ = 1000 kg/m³

p₁ = kPa

4.Continuità e BernoulliDifficile

L’ugello di una fontana è rivolto verso l’alto. Appena sotto l’ugello il tubo di alimentazione ha un diametro di 75 mm e una pressione relativa di 130 kPa. Il diametro di uscita dell’ugello è 20 mm e il dislivello attraverso l’ugello è trascurabile. Trascurando le perdite e la resistenza dell’aria, trova l’altezza H a cui il getto sale sopra l’ugello. Usa g = 9,81 m/s².

d₁ = 75 mmp₁ = 130 kPa (relativa)d₂ = 20 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

H = m

5.Attrito nei condotti e perdite di caricoMedia

Acqua scorre con una portata di 60 L/s in un tubo lungo 500 m con diametro interno di 300 mm. Usa il fattore di attrito di Darcy f = 0,015 e g = 9,81 m/s². Trova la perdita di carico per attrito h_f.

Q = 60 L/sL = 500 mD = 300 mmf = 0,015g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Attrito nei condotti e perdite di caricoDifficile

Un tubo lungo 100 m con diametro interno di 250 mm (fattore di attrito di Darcy f = 0,025) parte da un serbatoio aperto e scarica come getto libero in aria. Le perdite localizzate sono: un imbocco a spigolo vivo (K = 0,5), 4 curve (K = 0,3 ciascuna) e una valvola (K = 2). Usa g = 9,81 m/s². A quale altezza H deve trovarsi il pelo libero del serbatoio sopra lo sbocco del tubo per avere una portata di 120 L/s?

Q = 120 L/sL = 100 mD = 250 mmf = 0,025K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 2

H = m

7.Pompe e potenza delle pompeMedia

Una pompa eroga 50 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) con una prevalenza di 40 m. Il rendimento della pompa è del 82% e il motore elettrico che la aziona ha un rendimento del 90%. Usa g = 9,81 m/s². Trova la potenza elettrica P_el assorbita dal motore, in kW.

Q = 50 L/sH = 40 mη_pump = 82%η_motor = 90%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

8.Pompe e potenza delle pompeDifficile

Una pompa trasferisce 100 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) da un serbatoio inferiore aperto a una vasca superiore il cui pelo libero è 11 m più in alto. Il tubo è lungo 300 m, con diametro interno di 250 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,018; i coefficienti di perdita localizzata sommano a ΣK = 5 (imbocco e sbocco compresi). Usa g = 9,81 m/s². La vasca superiore è chiusa e l’aria sopra l’acqua è a una pressione relativa di 400 kPa. Trova la prevalenza H che la pompa deve fornire.

Q = 100 L/sΔz = 11 mL = 300 mD = 250 mmf = 0,018ΣK = 5p_tank = 400 kPa

H = m

3Soluzioni

1.Spinta idrostatica

Risposta: F = 104,8 kN

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·y_c·A. Agisce nel centro di spinta, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

y_c = d + H/2 = 4 + 1,5/2 = 4,75 m

A = H·b = 1,5·1,5 = 2,25 m²

Forza risultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·4,75·2,25 = 104,8 kN

Risposta

F = 104,8 kN

2.Spinta idrostatica

Risposta: y_cp = 4,519 m

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·y_c·A. Agisce nel centro di spinta, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

y_c = d + H/2 = 4 + 1/2 = 4,5 m

A = H·b = 1·1 = 1 m²

Forza risultante

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·4,5·1 = 38,85 kN

Centro di spinta

La pressione cresce con la profondità, quindi la risultante agisce sotto il baricentro.

I_c = b·H³/12 = 1·1³/12 = 0,08333 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 4,5 + 0,08333/(4,5·1) = 4,519 m

Risposta

y_cp = 4,519 m

3.Continuità e Bernoulli

Risposta: p₁ = 75,14 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Velocità

v₁ = Q/A₁ = 0,026/0,03142 = 0,8276 m/s

v₂ = Q/A₂ = 0,026/0,007854 = 3,31 m/s

Bernoulli

p₁ = p₂ + ½ρ(v₂² − v₁²) = 70 + ½·1000·(3,31² − 0,8276²)/1000 = 70 + 5,137 = 75,14 kPa

Risposta

p₁ = 75,14 kPa

4.Continuità e Bernoulli

Risposta: H = 13,32 m

Velocità di uscita

β = 20/75 = 0,2667

v₂ = √(2p₁/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·130000/(1000·0,9949)) = 16,17 m/s

Altezza del getto

Bernoulli lungo il getto: in cima la velocità è nulla e la pressione è di nuovo atmosferica.

H = v₂²/(2g) = 16,17²/(2·9,81) = 13,32 m

Risposta

H = 13,32 m

5.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: h_f = 0,9181 m

Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate h_m = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = h_f + h_m, compresa la perdita allo sbocco K = 1.

Velocità media

A = π·0,3²/4 = 0,07069 m²

V = Q/A = 0,06/0,07069 = 0,8488 m/s

Altezza cinetica

V²/(2g) = 0,8488²/(2·9,81) = 0,03672 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,015·(500/0,3)·0,8488²/(2·9,81) = 0,9181 m

Risposta

h_f = 0,9181 m

6.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: H = 4,478 m

Velocità

V = Q/A = 0,12/0,04909 = 2,445 m/s

V²/(2g) = 0,3046 m

Coefficienti di perdita

f·L/D = 0,025·100/0,25 = 10

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 2 = 3,7

Equazione dell’energia

Il getto in uscita conserva la sua altezza cinetica; non è una perdita, ma deve essere fornita.

H = (1 + 10 + 3,7)·0,3046 = 4,478 m

Risposta

H = 4,478 m

7.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: P_el = 26,59 kW

Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: P_shaft = P_h/η_pump, e il motore assorbe P_el = P_shaft/η_motor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.

Potenza idraulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,05·40 = 19,62 kW

Potenza all’albero

P_shaft = 19,62/0,82 = 23,93 kW

Potenza elettrica

P_el = 23,93/0,9 = 26,59 kW

Risposta

P_el = 26,59 kW

8.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: H = 57,4 m

Velocità

V = Q/A = 0,1/0,04909 = 2,037 m/s

V²/(2g) = 0,2115 m

Perdite di carico

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (21,6 + 5)·0,2115 = 5,627 m

Altezza piezometrica

p/(ρ·g) = 400000/(1000·9,81) = 40,77 m

Prevalenza della pompa

Entrambe le superfici sono praticamente in quiete, quindi non c’è il termine dell’altezza cinetica.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 11 + 40,77 + 5,627 = 57,4 m

Risposta

H = 57,4 m

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