Spinta idrostatica
- Pressione a una profondità
- p = ρgh
- Forza su una parete verticale
- F = ρg·hc·A
- Centro di spinta
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Rettangolo
- Ic = bH³/12
Meccanica dei fluidi: pacchetto last-minute
Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 8 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
1Formule e metodi
Continuità e Bernoulli
- Continuità
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Portata
- Q = A·v
- Area del cerchio
- A = πd²/4
Attrito nei condotti e perdite di carico
- Numero di Reynolds
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Regime di moto
- laminare sotto Re ≈ 2000, turbolento sopra Re ≈ 4000
- Velocità media
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Perdite localizzate
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Valori tipici di K
- imbocco 0,5, sbocco 1,0, curva a 90° ≈ 0,3
- Caduta di pressione
- Δp = ρ·g·hf
- Due serbatoi aperti
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Sbocco libero
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Pompe e potenza delle pompe
- Potenza idraulica
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Potenza all’albero
- Pshaft = Ph/ηpump
- Potenza elettrica
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Prevalenza della pompa
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Perdite dell’impianto
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2Esercizi
1.Spinta idrostaticaMedia
Una paratoia rettangolare verticale larga 1 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 3 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.
d = 3 mH = 3 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Spinta idrostaticaDifficile
Una paratoia rettangolare verticale larga 1 m si trova nella parete di un serbatoio di glicerina, con il bordo superiore 3 m sotto la superficie. Trova la profondità ycp del centro di spinta sotto la superficie.
d = 3 mH = 1 mb = 1 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²
ycp = m
3.Continuità e BernoulliMedia
Acqua defluisce da un grande serbatoio aperto attraverso una luce a spigolo vivo con diametro di 25 mm. Il livello dell’acqua è mantenuto 1 m sopra la luce e il coefficiente di efflusso è 0,61. Trova la portata Q. Usa g = 9,81 m/s².
d = 25 mmh = 1 mCd = 0,61g = 9,81 m/s²
Q = L/s
4.Continuità e BernoulliDifficile
L’acqua sale in un tubo che si restringe da 100 mm a 40 mm salendo di 2 m. Nella sezione 1 la pressione è 180 kPa e la velocità è 1,5 m/s. Trascurando le perdite, trova la pressione p2 nella sezione 2.
d1 = 100 mmd2 = 40 mmp1 = 180 kPav1 = 1,5 m/sΔz = 2 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.Attrito nei condotti e perdite di caricoMedia
Acqua (ρ = 1000 kg/m³) scorre a 1,1 m/s in un tubo orizzontale lungo 500 m con diametro interno di 300 mm. Usa il fattore di attrito di Darcy f = 0,025 e g = 9,81 m/s². Trova la caduta di pressione Δp lungo il tubo in kPa.
V = 1,1 m/sL = 500 mD = 300 mmf = 0,025ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.Attrito nei condotti e perdite di caricoDifficile
Un tubo lungo 500 m con diametro interno di 300 mm (fattore di attrito di Darcy f = 0,015) parte da un serbatoio aperto e scarica come getto libero in aria. Le perdite localizzate sono: un imbocco a spigolo vivo (K = 0,5), 3 curve (K = 0,3 ciascuna) e una valvola (K = 10). Usa g = 9,81 m/s². A quale altezza H deve trovarsi il pelo libero del serbatoio sopra lo sbocco del tubo per avere una portata di 150 L/s?
Q = 150 L/sL = 500 mD = 300 mmf = 0,015Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×3)Kvalve = 10
H = m
7.Pompe e potenza delle pompeMedia
Una pompa con rendimento del 60% eroga 80 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) con una prevalenza di 68 m. Usa g = 9,81 m/s². Trova la potenza all’albero Pshaft necessaria, in kW.
Q = 80 L/sH = 68 mη = 60%g = 9,81 m/s²
Pshaft = kW
8.Pompe e potenza delle pompeDifficile
Una pompa trasferisce 100 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) da un serbatoio inferiore aperto a una vasca superiore il cui pelo libero è 5 m più in alto. Il tubo è lungo 150 m, con diametro interno di 250 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,022; i coefficienti di perdita localizzata sommano a ΣK = 2 (imbocco e sbocco compresi). Usa g = 9,81 m/s². Il rendimento della pompa è del 72%. Trova la potenza all’albero Pshaft in kW.
Q = 100 L/sΔz = 5 mL = 150 mD = 250 mmf = 0,022ΣK = 2η = 72%
Pshaft = kW
3Soluzioni
1.Spinta idrostatica
Risposta: F = 132,4 kN
Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·yc·A. Agisce nel centro di spinta, ycp = yc + Ic/(ycA), che si trova sempre sotto il baricentro.
Profondità del baricentro e area
yc = d + H/2 = 3 + 3/2 = 4,5 m
A = H·b = 3·1 = 3 m²
Forza risultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·4,5·3 = 132,4 kN
Risposta
F = 132,4 kN
2.Spinta idrostatica
Risposta: ycp = 3,524 m
Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·yc·A. Agisce nel centro di spinta, ycp = yc + Ic/(ycA), che si trova sempre sotto il baricentro.
Profondità del baricentro e area
yc = d + H/2 = 3 + 1/2 = 3,5 m
A = H·b = 1·1 = 1 m²
Forza risultante
F = ρ·g·yc·A = 1260·9,81·3,5·1 = 43,26 kN
Centro di spinta
La pressione cresce con la profondità, quindi la risultante agisce sotto il baricentro.
Ic = b·H³/12 = 1·1³/12 = 0,08333 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 3,5 + 0,08333/(3,5·1) = 3,524 m
Risposta
ycp = 3,524 m
3.Continuità e Bernoulli
Risposta: Q = 1,326 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Velocità ideale del getto
√(2gh) = √(2·9,81·1) = 4,429 m/s
Portata reale
Il coefficiente di efflusso tiene conto della contrazione del getto e dell’attrito sul bordo.
Q = Cd·A·√(2gh) = 0,61·0,0004909·4,429 = 0,001326 m³/s = 1,326 L/s
Risposta
Q = 1,326 L/s
4.Continuità e Bernoulli
Risposta: p2 = 117,6 kPa
Continuità e Bernoulli: per un fluido incomprimibile la portata è la stessa in ogni sezione, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Lungo una linea di flusso senza perdite, p + ½ρv² + ρgz è costante, quindi dove il fluido è più veloce o più in alto la sua pressione è minore.
Continuità e Bernoulli
Lavora in Pa, poi dividi per 1000 per ottenere kPa.
v2 = v1·(d1/d2)² = 1,5·(100/40)² = 9,375 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1,5² − 9,375²)/1000 = −42,82 kPa
ρgΔz = 1000·9,81·2/1000 = 19,62 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 180 + (−42,82) − 19,62 = 117,6 kPa
Risposta
p2 = 117,6 kPa
5.Attrito nei condotti e perdite di carico
Risposta: Δp = 25,21 kPa
Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate hm = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = hf + hm, compresa la perdita allo sbocco K = 1.
Perdita di carico
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,025·(500/0,3)·1,1²/(2·9,81) = 2,57 m
Caduta di pressione
Il tubo è orizzontale e la velocità non cambia, quindi l’equazione dell’energia si riduce a Δp = ρ·g·hf.
Δp = ρ·g·hf = 1000·9,81·2,57 = 25208 Pa = 25,21 kPa
Risposta
Δp = 25,21 kPa
6.Attrito nei condotti e perdite di carico
Risposta: H = 8,584 m
Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate hm = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = hf + hm, compresa la perdita allo sbocco K = 1.
Velocità
V = Q/A = 0,15/0,07069 = 2,122 m/s
V²/(2g) = 0,2295 m
Coefficienti di perdita
f·L/D = 0,015·500/0,3 = 25
ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 10 = 11,4
Equazione dell’energia
Il getto in uscita conserva la sua altezza cinetica; non è una perdita, ma deve essere fornita.
H = (1 + 25 + 11,4)·0,2295 = 8,584 m
Risposta
H = 8,584 m
7.Pompe e potenza delle pompe
Risposta: Pshaft = 88,94 kW
Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: Pshaft = Ph/ηpump, e il motore assorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.
Potenza idraulica
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,08·68 = 53,37 kW
Potenza all’albero
Pshaft = Ph/η = 53,37/0,6 = 88,94 kW
Risposta
Pshaft = 88,94 kW
8.Pompe e potenza delle pompe
Risposta: Pshaft = 11,19 kW
Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: Pshaft = Ph/ηpump, e il motore assorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.
Velocità
V = Q/A = 0,1/0,04909 = 2,037 m/s
V²/(2g) = 0,2115 m
Perdite di carico
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (13,2 + 2)·0,2115 = 3,215 m
Prevalenza della pompa
H = Δz + hL = 5 + 3,215 = 8,215 m
Potenza all’albero
Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,1·8,215/0,72 = 11,19 kW
Risposta
Pshaft = 11,19 kW
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