Spinta idrostatica
- Pressione a una profondità
- p = ρgh
- Forza su una parete verticale
- F = ρg·hc·A
- Centro di spinta
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Rettangolo
- Ic = bH³/12
Meccanica dei fluidi: pacchetto last-minute
Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 8 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
1Formule e metodi
Continuità e Bernoulli
- Continuità
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Portata
- Q = A·v
- Area del cerchio
- A = πd²/4
Attrito nei condotti e perdite di carico
- Numero di Reynolds
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Regime di moto
- laminare sotto Re ≈ 2000, turbolento sopra Re ≈ 4000
- Velocità media
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Perdite localizzate
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Valori tipici di K
- imbocco 0,5, sbocco 1,0, curva a 90° ≈ 0,3
- Caduta di pressione
- Δp = ρ·g·hf
- Due serbatoi aperti
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Sbocco libero
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Pompe e potenza delle pompe
- Potenza idraulica
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Potenza all’albero
- Pshaft = Ph/ηpump
- Potenza elettrica
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Prevalenza della pompa
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Perdite dell’impianto
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2Esercizi
1.Spinta idrostaticaMedia
Una paratoia rettangolare verticale larga 1,5 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 2 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.
d = 2 mH = 1,5 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Spinta idrostaticaDifficile
Una paratoia rettangolare verticale larga 2 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua di mare, con il bordo superiore 0,5 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.
d = 0,5 mH = 2,5 mb = 2 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3.Continuità e BernoulliMedia
Un tubo di Pitot statico in una condotta d’acqua indica una differenza di 28 kPa tra la pressione di ristagno e la pressione statica. Trova la velocità dell’acqua v alla punta.
p0 − p = 28 kPaρ = 1000 kg/m³
v = m/s
4.Continuità e BernoulliDifficile
L’acqua sale in un tubo che si restringe da 100 mm a 50 mm salendo di 9 m. Nella sezione 1 la pressione è 220 kPa e la velocità è 1 m/s. Trascurando le perdite, trova la pressione p2 nella sezione 2.
d1 = 100 mmd2 = 50 mmp1 = 220 kPav1 = 1 m/sΔz = 9 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.Attrito nei condotti e perdite di caricoMedia
Acqua scorre con una velocità media di 2 m/s in un tubo lungo 200 m con diametro interno di 200 mm. Usa il fattore di attrito di Darcy f = 0,02 e g = 9,81 m/s². Trova la perdita di carico per attrito hf.
V = 2 m/sL = 200 mD = 200 mmf = 0,02g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Attrito nei condotti e perdite di caricoDifficile
Due serbatoi aperti sono collegati da un tubo lungo 200 m con diametro interno di 250 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,018. Il pelo libero del serbatoio superiore si trova 20 m sopra quello del serbatoio inferiore. Le perdite localizzate sono: un imbocco a spigolo vivo (K = 0,5), 2 curve (K = 0,3 ciascuna), una valvola (K = 5) e lo sbocco nel serbatoio inferiore (K = 1,0). Usa g = 9,81 m/s². Trova la portata Q in L/s.
Δz = 20 mL = 200 mD = 250 mmf = 0,018Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×2)Kvalve = 5Kexit = 1,0
Q = L/s
7.Pompe e potenza delle pompeMedia
In una prova, una pompa eroga 80 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) con una prevalenza di 38 m mentre il suo albero assorbe 36,4 kW. Usa g = 9,81 m/s². Trova il rendimento della pompa η in percentuale.
Q = 80 L/sH = 38 mPshaft = 36,4 kWg = 9,81 m/s²
η = %
8.Pompe e potenza delle pompeDifficile
Una pompa trasferisce 50 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) da un serbatoio inferiore aperto a una vasca superiore il cui pelo libero è 10 m più in alto. Il tubo è lungo 150 m, con diametro interno di 150 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,018; i coefficienti di perdita localizzata sommano a ΣK = 2,5 (imbocco e sbocco compresi). Usa g = 9,81 m/s². Il rendimento della pompa è del 75%. Trova la potenza all’albero Pshaft in kW.
Q = 50 L/sΔz = 10 mL = 150 mD = 150 mmf = 0,018ΣK = 2,5η = 75%
Pshaft = kW
3Soluzioni
1.Spinta idrostatica
Risposta: F = 60,7 kN
Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·yc·A. Agisce nel centro di spinta, ycp = yc + Ic/(ycA), che si trova sempre sotto il baricentro.
Profondità del baricentro e area
yc = d + H/2 = 2 + 1,5/2 = 2,75 m
A = H·b = 1,5·1,5 = 2,25 m²
Forza risultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·2,75·2,25 = 60,7 kN
Risposta
F = 60,7 kN
2.Spinta idrostatica
Risposta: F = 87,98 kN
Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·yc·A. Agisce nel centro di spinta, ycp = yc + Ic/(ycA), che si trova sempre sotto il baricentro.
Profondità del baricentro e area
yc = d + H/2 = 0,5 + 2,5/2 = 1,75 m
A = H·b = 2,5·2 = 5 m²
Forza risultante
F = ρ·g·yc·A = 1025·9,81·1,75·5 = 87,98 kN
Risposta
F = 87,98 kN
3.Continuità e Bernoulli
Risposta: v = 7,483 m/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Bernoulli fino al punto di ristagno
Il flusso si arresta alla punta, quindi la sua energia cinetica si manifesta come pressione aggiuntiva.
p0 − p = ½ρv²
v = √(2·28000/1000) = 7,483 m/s
Risposta
v = 7,483 m/s
4.Continuità e Bernoulli
Risposta: p2 = 124,2 kPa
Continuità e Bernoulli: per un fluido incomprimibile la portata è la stessa in ogni sezione, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Lungo una linea di flusso senza perdite, p + ½ρv² + ρgz è costante, quindi dove il fluido è più veloce o più in alto la sua pressione è minore.
Continuità e Bernoulli
Lavora in Pa, poi dividi per 1000 per ottenere kPa.
v2 = v1·(d1/d2)² = 1·(100/50)² = 4 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1² − 4²)/1000 = −7,5 kPa
ρgΔz = 1000·9,81·9/1000 = 88,29 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 220 + (−7,5) − 88,29 = 124,2 kPa
Risposta
p2 = 124,2 kPa
5.Attrito nei condotti e perdite di carico
Risposta: hf = 4,077 m
Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate hm = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = hf + hm, compresa la perdita allo sbocco K = 1.
Altezza cinetica
V²/(2g) = 2²/(2·9,81) = 0,2039 m
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,02·(200/0,2)·2²/(2·9,81) = 4,077 m
Risposta
hf = 4,077 m
6.Attrito nei condotti e perdite di carico
Risposta: Q = 209,7 L/s
Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate hm = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = hf + hm, compresa la perdita allo sbocco K = 1.
Coefficienti di perdita
f·L/D = 0,018·200/0,25 = 14,4
ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 5 + 1,0 = 7,1
Equazione dell’energia
Entrambe le superfici sono aperte all’aria e praticamente in quiete, quindi tutto Δz viene perso nel tubo.
20 = (14,4 + 7,1)·V²/(2·9,81)
V = √(2·9,81·20/21,5) = 4,272 m/s
Portata
Q = V·π·D²/4 = 4,272·0,04909 = 0,2097 m³/s = 209,7 L/s
Risposta
Q = 209,7 L/s
7.Pompe e potenza delle pompe
Risposta: η = 81,93 %
Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: Pshaft = Ph/ηpump, e il motore assorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.
Potenza idraulica
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,08·38 = 29,82 kW
Rendimento
η = Ph/Pshaft = 29,82/36,4 = 81,93%
Risposta
η = 81,93%
8.Pompe e potenza delle pompe
Risposta: Pshaft = 12,01 kW
Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: Pshaft = Ph/ηpump, e il motore assorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.
Velocità
V = Q/A = 0,05/0,01767 = 2,829 m/s
V²/(2g) = 0,408 m
Perdite di carico
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (18 + 2,5)·0,408 = 8,365 m
Prevalenza della pompa
H = Δz + hL = 10 + 8,365 = 18,36 m
Potenza all’albero
Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,05·18,36/0,75 = 12,01 kW
Risposta
Pshaft = 12,01 kW
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