Spinta idrostatica
- Pressione a una profondità
- p = ρgh
- Forza su una parete verticale
- F = ρg·hc·A
- Centro di spinta
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Rettangolo
- Ic = bH³/12
Meccanica dei fluidi: pacchetto last-minute
Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 8 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
1Formule e metodi
Continuità e Bernoulli
- Continuità
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Portata
- Q = A·v
- Area del cerchio
- A = πd²/4
Attrito nei condotti e perdite di carico
- Numero di Reynolds
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Regime di moto
- laminare sotto Re ≈ 2000, turbolento sopra Re ≈ 4000
- Velocità media
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Perdite localizzate
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Valori tipici di K
- imbocco 0,5, sbocco 1,0, curva a 90° ≈ 0,3
- Caduta di pressione
- Δp = ρ·g·hf
- Due serbatoi aperti
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Sbocco libero
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Pompe e potenza delle pompe
- Potenza idraulica
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Potenza all’albero
- Pshaft = Ph/ηpump
- Potenza elettrica
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Prevalenza della pompa
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Perdite dell’impianto
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2Esercizi
1.Spinta idrostaticaMedia
Una paratoia rettangolare verticale larga 3 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 4 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.
d = 4 mH = 2,5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Spinta idrostaticaDifficile
Una paratoia rettangolare verticale larga 1,5 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 3 m sotto la superficie. Trova la profondità ycp del centro di spinta sotto la superficie.
d = 3 mH = 1 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
ycp = m
3.Continuità e BernoulliMedia
L’acqua scorre in un tubo orizzontale che si restringe da 75 mm a 40 mm. Nel tratto largo la pressione è 220 kPa e la velocità è 3 m/s. Trascurando le perdite, trova la pressione p2 nel tratto stretto.
d1 = 75 mmd2 = 40 mmp1 = 220 kPav1 = 3 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.Continuità e BernoulliDifficile
L’acqua sale in un tubo che si restringe da 200 mm a 100 mm salendo di 9 m. Nella sezione 1 la pressione è 240 kPa e la velocità è 2,5 m/s. Trascurando le perdite, trova la pressione p2 nella sezione 2.
d1 = 200 mmd2 = 100 mmp1 = 240 kPav1 = 2,5 m/sΔz = 9 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.Attrito nei condotti e perdite di caricoMedia
Acqua scorre con una velocità media di 1,4 m/s in un tubo lungo 100 m con diametro interno di 200 mm. Usa il fattore di attrito di Darcy f = 0,02 e g = 9,81 m/s². Trova la perdita di carico per attrito hf.
V = 1,4 m/sL = 100 mD = 200 mmf = 0,02g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Attrito nei condotti e perdite di caricoDifficile
Un tubo lungo 100 m con diametro interno di 250 mm (fattore di attrito di Darcy f = 0,018) parte da un serbatoio aperto e scarica come getto libero in aria. Le perdite localizzate sono: un imbocco a spigolo vivo (K = 0,5), 4 curve (K = 0,3 ciascuna) e una valvola (K = 2). Usa g = 9,81 m/s². A quale altezza H deve trovarsi il pelo libero del serbatoio sopra lo sbocco del tubo per avere una portata di 50 L/s?
Q = 50 L/sL = 100 mD = 250 mmf = 0,018Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×4)Kvalve = 2
H = m
7.Pompe e potenza delle pompeMedia
In una prova, una pompa eroga 25 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) con una prevalenza di 26 m mentre il suo albero assorbe 8,2 kW. Usa g = 9,81 m/s². Trova il rendimento della pompa η in percentuale.
Q = 25 L/sH = 26 mPshaft = 8,2 kWg = 9,81 m/s²
η = %
8.Pompe e potenza delle pompeDifficile
Una pompa trasferisce 50 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) da un serbatoio inferiore aperto a una vasca superiore il cui pelo libero è 21 m più in alto. Il tubo è lungo 500 m, con diametro interno di 150 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,025; i coefficienti di perdita localizzata sommano a ΣK = 8 (imbocco e sbocco compresi). Usa g = 9,81 m/s². Il rendimento della pompa è del 82%. Trova la potenza all’albero Pshaft in kW.
Q = 50 L/sΔz = 21 mL = 500 mD = 150 mmf = 0,025ΣK = 8η = 82%
Pshaft = kW
3Soluzioni
1.Spinta idrostatica
Risposta: F = 386,3 kN
Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·yc·A. Agisce nel centro di spinta, ycp = yc + Ic/(ycA), che si trova sempre sotto il baricentro.
Profondità del baricentro e area
yc = d + H/2 = 4 + 2,5/2 = 5,25 m
A = H·b = 2,5·3 = 7,5 m²
Forza risultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·5,25·7,5 = 386,3 kN
Risposta
F = 386,3 kN
2.Spinta idrostatica
Risposta: ycp = 3,524 m
Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·yc·A. Agisce nel centro di spinta, ycp = yc + Ic/(ycA), che si trova sempre sotto il baricentro.
Profondità del baricentro e area
yc = d + H/2 = 3 + 1/2 = 3,5 m
A = H·b = 1·1,5 = 1,5 m²
Forza risultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·3,5·1,5 = 51,5 kN
Centro di spinta
La pressione cresce con la profondità, quindi la risultante agisce sotto il baricentro.
Ic = b·H³/12 = 1,5·1³/12 = 0,125 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 3,5 + 0,125/(3,5·1,5) = 3,524 m
Risposta
ycp = 3,524 m
3.Continuità e Bernoulli
Risposta: p2 = 168,9 kPa
Continuità e Bernoulli: per un fluido incomprimibile la portata è la stessa in ogni sezione, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Lungo una linea di flusso senza perdite, p + ½ρv² + ρgz è costante, quindi dove il fluido è più veloce o più in alto la sua pressione è minore.
Continuità e Bernoulli
Lavora in Pa, poi dividi per 1000 per ottenere kPa.
v2 = v1·(d1/d2)² = 3·(75/40)² = 10,55 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(3² − 10,55²)/1000 = −51,12 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 220 + (−51,12) = 168,9 kPa
Risposta
p2 = 168,9 kPa
4.Continuità e Bernoulli
Risposta: p2 = 104,8 kPa
Continuità e Bernoulli: per un fluido incomprimibile la portata è la stessa in ogni sezione, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Lungo una linea di flusso senza perdite, p + ½ρv² + ρgz è costante, quindi dove il fluido è più veloce o più in alto la sua pressione è minore.
Continuità e Bernoulli
Lavora in Pa, poi dividi per 1000 per ottenere kPa.
v2 = v1·(d1/d2)² = 2,5·(200/100)² = 10 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(2,5² − 10²)/1000 = −46,88 kPa
ρgΔz = 1000·9,81·9/1000 = 88,29 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 240 + (−46,88) − 88,29 = 104,8 kPa
Risposta
p2 = 104,8 kPa
5.Attrito nei condotti e perdite di carico
Risposta: hf = 0,999 m
Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate hm = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = hf + hm, compresa la perdita allo sbocco K = 1.
Altezza cinetica
V²/(2g) = 1,4²/(2·9,81) = 0,0999 m
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,02·(100/0,2)·1,4²/(2·9,81) = 0,999 m
Risposta
hf = 0,999 m
6.Attrito nei condotti e perdite di carico
Risposta: H = 0,6293 m
Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate hm = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = hf + hm, compresa la perdita allo sbocco K = 1.
Velocità
V = Q/A = 0,05/0,04909 = 1,019 m/s
V²/(2g) = 0,05288 m
Coefficienti di perdita
f·L/D = 0,018·100/0,25 = 7,2
ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 2 = 3,7
Equazione dell’energia
Il getto in uscita conserva la sua altezza cinetica; non è una perdita, ma deve essere fornita.
H = (1 + 7,2 + 3,7)·0,05288 = 0,6293 m
Risposta
H = 0,6293 m
7.Pompe e potenza delle pompe
Risposta: η = 77,76 %
Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: Pshaft = Ph/ηpump, e il motore assorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.
Potenza idraulica
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,025·26 = 6,377 kW
Rendimento
η = Ph/Pshaft = 6,377/8,2 = 77,76%
Risposta
η = 77,76%
8.Pompe e potenza delle pompe
Risposta: Pshaft = 34,85 kW
Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: Pshaft = Ph/ηpump, e il motore assorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.
Velocità
V = Q/A = 0,05/0,01767 = 2,829 m/s
V²/(2g) = 0,408 m
Perdite di carico
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (83,33 + 8)·0,408 = 37,27 m
Prevalenza della pompa
H = Δz + hL = 21 + 37,27 = 58,27 m
Potenza all’albero
Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,05·58,27/0,82 = 34,85 kW
Risposta
Pshaft = 34,85 kW
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