Meccanica dei fluidi: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 8 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Spinta idrostatica

Pressione a una profondità: p = ρgh
Forza su una parete verticale: F = ρg·h_c·A
Centro di spinta: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rettangolo: I_c = bH³/12

Continuità e Bernoulli

Continuità: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Portata: Q = A·v
Area del cerchio: A = πd²/4

Attrito nei condotti e perdite di carico

Numero di Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime di moto: laminare sotto Re ≈ 2000, turbolento sopra Re ≈ 4000
Velocità media: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdite localizzate: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valori tipici di K: imbocco 0,5, sbocco 1,0, curva a 90° ≈ 0,3
Caduta di pressione: Δp = ρ·g·h_f
Due serbatoi aperti: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Sbocco libero: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompe e potenza delle pompe

Potenza idraulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potenza all’albero: P_shaft = P_h/η_pump
Potenza elettrica: P_el = P_shaft/η_motor
Prevalenza della pompa: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Perdite dell’impianto: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Esercizi

1.Spinta idrostaticaMedia

Una paratoia rettangolare verticale larga 1,5 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 1,5 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.

d = 1,5 mH = 1 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Spinta idrostaticaDifficile

Una paratoia rettangolare verticale larga 1,5 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua di mare, con il bordo superiore 0,5 m sotto la superficie. Trova la profondità y_cp del centro di spinta sotto la superficie.

d = 0,5 mH = 2 mb = 1,5 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Continuità e BernoulliMedia

L’acqua scorre in un tubo orizzontale che si restringe da 100 mm a 75 mm. Nel tratto largo la pressione è 370 kPa e la velocità è 0,5 m/s. Trascurando le perdite, trova la pressione p₂ nel tratto stretto.

d₁ = 100 mmd₂ = 75 mmp₁ = 370 kPav₁ = 0,5 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.Continuità e BernoulliDifficile

Un tubo flessibile con diametro interno di 40 mm aspira acqua a sifone da un serbatoio aperto. Il punto più alto C del tubo è 1,5 m sopra il pelo libero, e l’uscita (aperta all’aria) è 1,5 m sotto il pelo libero. Trascura le perdite e assumi g = 9,81 m/s². Trova la portata Q.

d = 40 mmz_C = +1,5 mz₂ = −1,5 mg = 9,81 m/s²

Q = L/s

5.Attrito nei condotti e perdite di caricoMedia

Acqua (ρ = 1000 kg/m³) scorre a 1,4 m/s in un tubo orizzontale lungo 200 m con diametro interno di 50 mm. Usa il fattore di attrito di Darcy f = 0,018 e g = 9,81 m/s². Trova la caduta di pressione Δp lungo il tubo in kPa.

V = 1,4 m/sL = 200 mD = 50 mmf = 0,018ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.Attrito nei condotti e perdite di caricoDifficile

Due serbatoi aperti sono collegati da un tubo lungo 200 m con diametro interno di 250 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,018. Le perdite localizzate sono: un imbocco a spigolo vivo (K = 0,5), 4 curve (K = 0,3 ciascuna), una valvola (K = 2) e lo sbocco nel serbatoio inferiore (K = 1,0). Usa g = 9,81 m/s². Quale dislivello Δz tra i peli liberi dei serbatoi dà una portata di 100 L/s?

Q = 100 L/sL = 200 mD = 250 mmf = 0,018K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 2K_exit = 1,0

Δz = m

7.Pompe e potenza delle pompeMedia

Una pompa con rendimento del 78% eroga 50 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) con una prevalenza di 74 m. Usa g = 9,81 m/s². Trova la potenza all’albero P_shaft necessaria, in kW.

Q = 50 L/sH = 74 mη = 78%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

8.Pompe e potenza delle pompeDifficile

Una pompa trasferisce 50 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) da un serbatoio inferiore aperto a una vasca superiore il cui pelo libero è 29 m più in alto. Il tubo è lungo 300 m, con diametro interno di 150 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,015; i coefficienti di perdita localizzata sommano a ΣK = 6 (imbocco e sbocco compresi). Usa g = 9,81 m/s². Il rendimento della pompa è del 78%. Trova la potenza all’albero P_shaft in kW.

Q = 50 L/sΔz = 29 mL = 300 mD = 150 mmf = 0,015ΣK = 6η = 78%

P_shaft = kW

3Soluzioni

1.Spinta idrostatica

Risposta: F = 29,43 kN

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·y_c·A. Agisce nel centro di spinta, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

y_c = d + H/2 = 1,5 + 1/2 = 2 m

A = H·b = 1·1,5 = 1,5 m²

Forza risultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2·1,5 = 29,43 kN

Risposta

F = 29,43 kN

2.Spinta idrostatica

Risposta: y_cp = 1,722 m

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·y_c·A. Agisce nel centro di spinta, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

y_c = d + H/2 = 0,5 + 2/2 = 1,5 m

A = H·b = 2·1,5 = 3 m²

Forza risultante

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·1,5·3 = 45,25 kN

Centro di spinta

La pressione cresce con la profondità, quindi la risultante agisce sotto il baricentro.

I_c = b·H³/12 = 1,5·2³/12 = 1 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 1,5 + 1/(1,5·3) = 1,722 m

Risposta

y_cp = 1,722 m

3.Continuità e Bernoulli

Risposta: p₂ = 369,7 kPa

Continuità e Bernoulli: per un fluido incomprimibile la portata è la stessa in ogni sezione, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Lungo una linea di flusso senza perdite, p + ½ρv² + ρgz è costante, quindi dove il fluido è più veloce o più in alto la sua pressione è minore.

Continuità e Bernoulli

Lavora in Pa, poi dividi per 1000 per ottenere kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0,5·(100/75)² = 0,8889 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0,5² − 0,8889²)/1000 = −0,2701 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 370 + (−0,2701) = 369,7 kPa

Risposta

p₂ = 369,7 kPa

4.Continuità e Bernoulli

Risposta: Q = 6,817 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Velocità nel tubo

Pelo libero e uscita sono entrambi aperti all’aria, quindi i termini di pressione si elidono.

v = √(2g·1,5) = √(2·9,81·1,5) = 5,425 m/s

Portata

Q = A·v = 0,001257·5,425 = 0,006817 m³/s = 6,817 L/s

Risposta

Q = 6,817 L/s

5.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: Δp = 70,56 kPa

Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate h_m = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = h_f + h_m, compresa la perdita allo sbocco K = 1.

Perdita di carico

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,018·(200/0,05)·1,4²/(2·9,81) = 7,193 m

Caduta di pressione

Il tubo è orizzontale e la velocità non cambia, quindi l’equazione dell’energia si riduce a Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·7,193 = 70560 Pa = 70,56 kPa

Risposta

Δp = 70,56 kPa

6.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: Δz = 4,04 m

Velocità

V = Q/A = 0,1/0,04909 = 2,037 m/s

V²/(2g) = 0,2115 m

Coefficienti di perdita

f·L/D = 0,018·200/0,25 = 14,4

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 2 + 1,0 = 4,7

Perdita di carico totale

h_f = 14,4·0,2115 = 3,046 m

h_m = 4,7·0,2115 = 0,9942 m

Δz = h_f + h_m = 4,04 m

Risposta

Δz = 4,04 m

7.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: P_shaft = 46,53 kW

Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: P_shaft = P_h/η_pump, e il motore assorbe P_el = P_shaft/η_motor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.

Potenza idraulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,05·74 = 36,3 kW

Potenza all’albero

P_shaft = P_h/η = 36,3/0,78 = 46,53 kW

Risposta

P_shaft = 46,53 kW

8.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: P_shaft = 27,47 kW

Velocità

V = Q/A = 0,05/0,01767 = 2,829 m/s

V²/(2g) = 0,408 m

Perdite di carico

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (30 + 6)·0,408 = 14,69 m

Prevalenza della pompa

H = Δz + h_L = 29 + 14,69 = 43,69 m

Potenza all’albero

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,05·43,69/0,78 = 27,47 kW

Risposta

P_shaft = 27,47 kW

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