Meccanica dei fluidi: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 8 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Spinta idrostatica

Pressione a una profondità: p = ρgh
Forza su una parete verticale: F = ρg·h_c·A
Centro di spinta: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rettangolo: I_c = bH³/12

Continuità e Bernoulli

Continuità: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Portata: Q = A·v
Area del cerchio: A = πd²/4

Attrito nei condotti e perdite di carico

Numero di Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime di moto: laminare sotto Re ≈ 2000, turbolento sopra Re ≈ 4000
Velocità media: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdite localizzate: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valori tipici di K: imbocco 0,5, sbocco 1,0, curva a 90° ≈ 0,3
Caduta di pressione: Δp = ρ·g·h_f
Due serbatoi aperti: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Sbocco libero: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompe e potenza delle pompe

Potenza idraulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potenza all’albero: P_shaft = P_h/η_pump
Potenza elettrica: P_el = P_shaft/η_motor
Prevalenza della pompa: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Perdite dell’impianto: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Esercizi

1.Spinta idrostaticaMedia

Una paratoia rettangolare verticale larga 1,5 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 1 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.

d = 1 mH = 1,5 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Spinta idrostaticaDifficile

Una paratoia rettangolare verticale larga 2 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 2 m sotto la superficie. Trova la profondità y_cp del centro di spinta sotto la superficie.

d = 2 mH = 2,5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Continuità e BernoulliMedia

Acqua defluisce da un grande serbatoio aperto attraverso una luce a spigolo vivo con diametro di 25 mm. Il livello dell’acqua è mantenuto 3,5 m sopra la luce e il coefficiente di efflusso è 0,61. Trova la portata Q. Usa g = 9,81 m/s².

d = 25 mmh = 3,5 mC_d = 0,61g = 9,81 m/s²

Q = L/s

4.Continuità e BernoulliDifficile

Un serbatoio d’acqua chiuso contiene aria compressa sopra l’acqua a una pressione relativa di 130 kPa. L’acqua esce all’aria aperta attraverso un’apertura con diametro di 25 mm, 2 m sotto il pelo libero. Trascurando le perdite, trova la portata Q. Usa g = 9,81 m/s².

p_air = 130 kPa (relativa)h = 2 md = 25 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

Q = L/s

5.Attrito nei condotti e perdite di caricoMedia

Acqua (ρ = 1000 kg/m³) scorre a 2,1 m/s in un tubo orizzontale lungo 150 m con diametro interno di 200 mm. Usa il fattore di attrito di Darcy f = 0,028 e g = 9,81 m/s². Trova la caduta di pressione Δp lungo il tubo in kPa.

V = 2,1 m/sL = 150 mD = 200 mmf = 0,028ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.Attrito nei condotti e perdite di caricoDifficile

Due serbatoi aperti sono collegati da un tubo lungo 150 m con diametro interno di 200 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,025. Il pelo libero del serbatoio superiore si trova 17 m sopra quello del serbatoio inferiore. Le perdite localizzate sono: un imbocco a spigolo vivo (K = 0,5), 3 curve (K = 0,3 ciascuna), una valvola (K = 2) e lo sbocco nel serbatoio inferiore (K = 1,0). Usa g = 9,81 m/s². Trova la portata Q in L/s.

Δz = 17 mL = 150 mD = 200 mmf = 0,025K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 2K_exit = 1,0

Q = L/s

7.Pompe e potenza delle pompeMedia

Una pompa eroga 40 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) con una prevalenza di 60 m. Il rendimento della pompa è del 65% e il motore elettrico che la aziona ha un rendimento del 88%. Usa g = 9,81 m/s². Trova la potenza elettrica P_el assorbita dal motore, in kW.

Q = 40 L/sH = 60 mη_pump = 65%η_motor = 88%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

8.Pompe e potenza delle pompeDifficile

Una pompa trasferisce 30 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) da un serbatoio inferiore aperto a una vasca superiore il cui pelo libero è 5 m più in alto. Il tubo è lungo 100 m, con diametro interno di 150 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,02; i coefficienti di perdita localizzata sommano a ΣK = 4 (imbocco e sbocco compresi). Usa g = 9,81 m/s². Il rendimento della pompa è del 85%. Trova la potenza all’albero P_shaft in kW.

Q = 30 L/sΔz = 5 mL = 100 mD = 150 mmf = 0,02ΣK = 4η = 85%

P_shaft = kW

3Soluzioni

1.Spinta idrostatica

Risposta: F = 38,63 kN

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·y_c·A. Agisce nel centro di spinta, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

y_c = d + H/2 = 1 + 1,5/2 = 1,75 m

A = H·b = 1,5·1,5 = 2,25 m²

Forza risultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·1,75·2,25 = 38,63 kN

Risposta

F = 38,63 kN

2.Spinta idrostatica

Risposta: y_cp = 3,41 m

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·y_c·A. Agisce nel centro di spinta, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

y_c = d + H/2 = 2 + 2,5/2 = 3,25 m

A = H·b = 2,5·2 = 5 m²

Forza risultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,25·5 = 159,4 kN

Centro di spinta

La pressione cresce con la profondità, quindi la risultante agisce sotto il baricentro.

I_c = b·H³/12 = 2·2,5³/12 = 2,604 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3,25 + 2,604/(3,25·5) = 3,41 m

Risposta

y_cp = 3,41 m

3.Continuità e Bernoulli

Risposta: Q = 2,481 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Velocità ideale del getto

√(2gh) = √(2·9,81·3,5) = 8,287 m/s

Portata reale

Il coefficiente di efflusso tiene conto della contrazione del getto e dell’attrito sul bordo.

Q = C_d·A·√(2gh) = 0,61·0,0004909·8,287 = 0,002481 m³/s = 2,481 L/s

Risposta

Q = 2,481 L/s

4.Continuità e Bernoulli

Risposta: Q = 8,491 L/s

Bernoulli dal pelo libero al getto

v = √(2·(130000/1000 + 9,81·2)) = 17,3 m/s

Portata

Q = A·v = 0,0004909·17,3 = 0,008491 m³/s = 8,491 L/s

Risposta

Q = 8,491 L/s

5.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: Δp = 46,3 kPa

Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate h_m = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = h_f + h_m, compresa la perdita allo sbocco K = 1.

Perdita di carico

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,028·(150/0,2)·2,1²/(2·9,81) = 4,72 m

Caduta di pressione

Il tubo è orizzontale e la velocità non cambia, quindi l’equazione dell’energia si riduce a Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·4,72 = 46305 Pa = 46,3 kPa

Risposta

Δp = 46,3 kPa

6.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: Q = 119,2 L/s

Coefficienti di perdita

f·L/D = 0,025·150/0,2 = 18,75

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 2 + 1,0 = 4,4

Equazione dell’energia

Entrambe le superfici sono aperte all’aria e praticamente in quiete, quindi tutto Δz viene perso nel tubo.

17 = (18,75 + 4,4)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·17/23,15) = 3,796 m/s

Portata

Q = V·π·D²/4 = 3,796·0,03142 = 0,1192 m³/s = 119,2 L/s

Risposta

Q = 119,2 L/s

7.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: P_el = 41,16 kW

Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: P_shaft = P_h/η_pump, e il motore assorbe P_el = P_shaft/η_motor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.

Potenza idraulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,04·60 = 23,54 kW

Potenza all’albero

P_shaft = 23,54/0,65 = 36,22 kW

Potenza elettrica

P_el = 36,22/0,88 = 41,16 kW

Risposta

P_el = 41,16 kW

8.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: P_shaft = 2,613 kW

Velocità

V = Q/A = 0,03/0,01767 = 1,698 m/s

V²/(2g) = 0,1469 m

Perdite di carico

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (13,33 + 4)·0,1469 = 2,546 m

Prevalenza della pompa

H = Δz + h_L = 5 + 2,546 = 7,546 m

Potenza all’albero

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,03·7,546/0,85 = 2,613 kW

Risposta

P_shaft = 2,613 kW

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