Conduzione del calore
- Legge di Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Resistenza conduttiva
- R = L/(kA)
- Resistenza convettiva
- R = 1/(hA)
- Resistenze in serie
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Trasmittanza U
- U = 1/(ΣR·A)
Trasmissione del calore: pacchetto last-minute
Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 4 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
1Formule e metodi
Scambiatori di calore (LMTD)
- Potenza termica
- Q = U·A·ΔTlm
- Differenza di temperatura media logaritmica
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilancio di una corrente
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Esercizi
1.Conduzione del caloreMedia
Una parete è composta da 200 mm di vetro e 75 mm di legno, con un’area di 4 m². Le facce esterne sono a 24 °C e -15 °C. Trova la temperatura Ti all’interfaccia tra i due strati.
L1 = 200 mm, k1 = 0,96 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 4 m²T1 = 24 °CT3 = -15 °C
Ti = °C
2.Conduzione del caloreDifficile
Una parete di 200 mm legno e 75 mm polistirene espanso separa una stanza a 20 °C dall’aria esterna a 4 °C. I coefficienti di convezione sono 7,7 W/(m²·K) all’interno e 30 W/(m²·K) all’esterno, e l’area della parete è 12 m². Trova la perdita di calore Q̇ attraverso la parete.
L1 = 200 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,035 W/(m·K)A = 12 m²hi = 7,7 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = 4 °C
Q̇ = W
3.Scambiatori di calore (LMTD)Media
Uno scambiatore di calore controcorrente trasferisce 140 kW. La sua area di scambio è 2,5 m². Il fluido caldo si raffredda da 175 a 120 °C e il fluido freddo si riscalda da 20 a 105 °C. Trova il coefficiente globale di scambio U.
Q̇ = 140 kWA = 2,5 m²Th: 175 → 120 °CTc: 20 → 105 °C
U = W/(m²·K)
4.Scambiatori di calore (LMTD)Difficile
Olio caldo (2 kg/s, cp = 2,5 kJ/(kg·K)) si raffredda da 130 a 80 °C in uno scambiatore controcorrente. Riscalda 3 kg/s di acqua (cp = 4,18 kJ/(kg·K)) che entra a 15 °C. Con U = 800 W/(m²·K), trova l’area di scambio A necessaria.
ṁh = 2 kg/scp,h = 2,5 kJ/(kg·K)Th: 130 → 80 °Cṁc = 3 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 15 °CU = 800 W/(m²·K)
A = m²
3Soluzioni
1.Conduzione del calore
Risposta: Ti = 11,49 °C
Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.
Resistenze degli strati
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,96·4) = 0,05208 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,17·4) = 0,1103 K/W
Flusso termico
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 39/0,1624 = 240,2 W
Temperatura all’interfaccia
La temperatura scende nel primo strato di Q̇·R₁.
Ti = T1 − Q̇·R1 = 24 − 240,2·0,05208 = 11,49 °C
Risposta
Ti = 11,49 °C
2.Conduzione del calore
Risposta: Q̇ = 55,13 W
Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.
Resistenze in serie
Ri = 1/(hiA) = 1/(7,7·12) = 0,01082 K/W
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,17·12) = 0,09804 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,035·12) = 0,1786 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·12) = 0,002778 K/W
ΣR = 0,2902 K/W
Perdita di calore
Q̇ = (20 − (4))/0,2902 = 55,13 W
Risposta
Q̇ = 55,13 W
3.Scambiatori di calore (LMTD)
Risposta: U = 665,8 W/(m²·K)
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Differenze di temperatura agli estremi
In controcorrente l’ingresso caldo è di fronte all’uscita fredda, e l’uscita calda di fronte all’ingresso freddo.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 175 − 105 = 70 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 120 − 20 = 100 K
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (70 − 100)/ln(70/100) = 84,11 K
Coefficiente globale
U = Q̇/(A·ΔTlm) = 140000/(2,5·84,11) = 665,8 W/(m²·K)
Risposta
U = 665,8 W/(m²·K)
4.Scambiatori di calore (LMTD)
Risposta: A = 3,952 m²
Metodo LMTD: la differenza di temperatura tra le correnti cambia lungo lo scambiatore, quindi l’equazione usa la sua media logaritmica: Q̇ = U·A·ΔTlm, con ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), dove ΔT₁ e ΔT₂ sono le differenze ai due estremi. A parità di temperature di ingresso e uscita, la controcorrente dà un ΔTlm maggiore dell’equicorrente.
Potenza termica e temperatura di uscita dell’acqua
Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 2·2,5·50 = 250 kW
Tc,out = 15 + 250/(3·4,18) = 34,94 °C
Differenze di temperatura agli estremi
In controcorrente l’ingresso caldo è di fronte all’uscita fredda, e l’uscita calda di fronte all’ingresso freddo.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 130 − 34,94 = 95,06 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 80 − 15 = 65 K
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (95,06 − 65)/ln(95,06/65) = 79,08 K
Area
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 250000/(800·79,08) = 3,952 m²
Risposta
A = 3,952 m²
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