Trasmissione del calore: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 4 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Conduzione del calore

Legge di Fourier
Q̇ = kAΔT/L
Resistenza conduttiva
R = L/(kA)
Resistenza convettiva
R = 1/(hA)
Resistenze in serie
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Trasmittanza U
U = 1/(ΣR·A)

Scambiatori di calore (LMTD)

Potenza termica
Q = U·A·ΔTlm
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Bilancio di una corrente
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Esercizi

1.Conduzione del caloreMedia
Mattone, k = 0,72250 mmLegno, k = 0,1750 mm16 °C7 °CTi​ = ?Q̇

Una parete è composta da 250 mm di mattone e 50 mm di legno, con un’area di 6 m². Le facce esterne sono a 16 °C e 7 °C. Trova la temperatura Ti all’interfaccia tra i due strati.

L1 = 250 mm, k1 = 0,72 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 6 m²T1 = 16 °CT3 = 7 °C
Ti = °C
2.Conduzione del caloreDifficile
Mattone, k = 0,72100 mmCartongesso, k = 0,1725 mmstanza 21 °Cesterno -14 °CTs​ = ?Q̇

Una parete di 100 mm mattone e 25 mm cartongesso separa una stanza a 21 °C dall’aria esterna a -14 °C. I coefficienti di convezione sono 6 W/(m²·K) all’interno e 30 W/(m²·K) all’esterno, e l’area della parete è 15 m². Trova la temperatura Ts della superficie interna della parete.

L1 = 100 mm, k1 = 0,72 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 15 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -14 °C
Ts = °C
3.Scambiatori di calore (LMTD)Media
lunghezzaT155 °C50 °C50 °C25 °CΔT₁ΔT₂controcorrente

Uno scambiatore a fascio tubiero (un passaggio lato mantello, due passaggi lato tubi) deve trasferire 260 kW. Il fluido caldo si raffredda da 155 a 50 °C e il fluido freddo si riscalda da 25 a 50 °C. Il fattore di correzione della LMTD per questa configurazione è F = 0,95, e U = 200 W/(m²·K). Trova l’area di scambio A necessaria.

Q̇ = 260 kWF = 0,95U = 200 W/(m²·K)Th: 155 → 50 °CTc: 25 → 50 °C
A = m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)Difficile
lunghezzaT100 °C10 °C?ΔT₁ΔT₂vapore che condensa

Il vapore condensa a 100 °C costanti all’esterno dei tubi di un condensatore con un’area di scambio di 3 m² e U = 2000 W/(m²·K). L’acqua di raffreddamento (2 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) entra nei tubi a 10 °C. Trova la temperatura di uscita dell’acqua Tc,out.

Ts = 100 °CA = 3 m²U = 2000 W/(m²·K)ṁ = 2 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 10 °C
Tc,out = °C

3Soluzioni

1.Conduzione del calore

Risposta: Ti = 11,13 °C

Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.

Resistenze degli strati

R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0,72·6) = 0,05787 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,17·6) = 0,04902 K/W

Flusso termico

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 9/0,1069 = 84,2 W

Temperatura all’interfaccia

La temperatura scende nel primo strato di Q̇·R₁.

Ti = T1 − Q̇·R1 = 16 − 84,2·0,05787 = 11,13 °C

Risposta

Ti = 11,13 °C
2.Conduzione del calore

Risposta: Ts = 8,996 °C

Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.

Resistenze in serie

Ri = 1/(hiA) = 1/(6·15) = 0,01111 K/W
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,72·15) = 0,009259 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,17·15) = 0,009804 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·15) = 0,002222 K/W
ΣR = 0,0324 K/W

Perdita di calore

Q̇ = (21 − (-14))/0,0324 = 1080 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 21 − 1080·0,01111 = 8,996 °C

Risposta

Ts = 8,996 °C
3.Scambiatori di calore (LMTD)

Risposta: A = 24,55 m²

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Differenze di temperatura agli estremi (controcorrente)

In controcorrente l’ingresso caldo è di fronte all’uscita fredda, e l’uscita calda di fronte all’ingresso freddo.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 155 − 50 = 105 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 50 − 25 = 25 K

Differenza di temperatura media logaritmica

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (105 − 25)/ln(105/25) = 55,75 K

Area

A = Q̇/(U·F·ΔTlm,cf) = 260000/(200·0,95·55,75) = 24,55 m²

Risposta

A = 24,55 m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)

Risposta: Tc,out = 56,09 °C

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Combina il bilancio energetico e l’equazione di scambio

Con ΔT₁ = Ts − Tc,in e ΔT₂ = Ts − Tc,out, la differenza ΔT₁ − ΔT₂ è uguale all’aumento di temperatura dell’acqua, quindi l’aumento si semplifica.

ṁcp(ΔT₁ − ΔT₂) = U·A·(ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)
ln(ΔT₁/ΔT₂) = U·A/(ṁcp) = 2000·3/(2·4180) = 0,7177

Temperatura di uscita

ΔT₂ = ΔT₁·e−0,7177 = 90·0,4879 = 43,91 K
Tc,out = 100 − 43,91 = 56,09 °C

Risposta

Tc,out = 56,09 °C

Calore trasferito: Q̇ = 385,3 kW.

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