Conduzione del calore
- Legge di Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Resistenza conduttiva
- R = L/(kA)
- Resistenza convettiva
- R = 1/(hA)
- Resistenze in serie
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Trasmittanza U
- U = 1/(ΣR·A)
Trasmissione del calore: pacchetto last-minute
Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 4 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
1Formule e metodi
Scambiatori di calore (LMTD)
- Potenza termica
- Q = U·A·ΔTlm
- Differenza di temperatura media logaritmica
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilancio di una corrente
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Esercizi
1.Conduzione del caloreMedia
Una parete è composta da 50 mm di legno e 75 mm di calcestruzzo, con un’area di 4 m². Le facce esterne sono a 22 °C e -9 °C. Trova il flusso termico Q̇ attraverso la parete.
L1 = 50 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 1,4 W/(m·K)A = 4 m²T1 = 22 °CT3 = -9 °C
Q̇ = W
2.Conduzione del caloreDifficile
Una parete di 250 mm vetro e 25 mm polistirene espanso separa una stanza a 21 °C dall’aria esterna a -8 °C. I coefficienti di convezione sono 6 W/(m²·K) all’interno e 25 W/(m²·K) all’esterno, e l’area della parete è 12 m². Trova la perdita di calore Q̇ attraverso la parete.
L1 = 250 mm, k1 = 0,96 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,035 W/(m·K)A = 12 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -8 °C
Q̇ = W
3.Scambiatori di calore (LMTD)Media
Uno scambiatore controcorrente trasferisce 420 kW. Il fluido caldo si raffredda da 130 a 90 °C e il fluido freddo si riscalda da 20 a 45 °C. Il coefficiente globale di scambio è 800 W/(m²·K). Trova l’area di scambio A necessaria.
Q̇ = 420 kWU = 800 W/(m²·K)Th: 130 → 90 °CTc: 20 → 45 °C
A = m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)Difficile
In uno scambiatore controcorrente entrambe le correnti hanno la stessa capacità termica oraria, ṁ·cp = 1 kW/K. La corrente calda entra a 130 °C e quella fredda a 25 °C. Lo scambiatore ha A = 3 m² e U = 300 W/(m²·K). Trova la temperatura di uscita della corrente calda Th,out.
Ch = Cc = 1 kW/KTh,in = 130 °CTc,in = 25 °CA = 3 m²U = 300 W/(m²·K)
Th,out = °C
3Soluzioni
1.Conduzione del calore
Risposta: Q̇ = 356,6 W
Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.
Resistenze degli strati
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,17·4) = 0,07353 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(1,4·4) = 0,01339 K/W
Flusso termico
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 31/0,08692 = 356,6 W
Risposta
Q̇ = 356,6 W
2.Conduzione del calore
Risposta: Q̇ = 294,6 W
Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.
Resistenze in serie
Ri = 1/(hiA) = 1/(6·12) = 0,01389 K/W
R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0,96·12) = 0,0217 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,035·12) = 0,05952 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·12) = 0,003333 K/W
ΣR = 0,09845 K/W
Perdita di calore
Q̇ = (21 − (-8))/0,09845 = 294,6 W
Risposta
Q̇ = 294,6 W
3.Scambiatori di calore (LMTD)
Risposta: A = 6,795 m²
Metodo LMTD: la differenza di temperatura tra le correnti cambia lungo lo scambiatore, quindi l’equazione usa la sua media logaritmica: Q̇ = U·A·ΔTlm, con ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), dove ΔT₁ e ΔT₂ sono le differenze ai due estremi. A parità di temperature di ingresso e uscita, la controcorrente dà un ΔTlm maggiore dell’equicorrente.
Differenze di temperatura agli estremi
In controcorrente l’ingresso caldo è di fronte all’uscita fredda, e l’uscita calda di fronte all’ingresso freddo.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 130 − 45 = 85 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 90 − 20 = 70 K
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (85 − 70)/ln(85/70) = 77,26 K
Area
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 420000/(800·77,26) = 6,795 m²
Risposta
A = 6,795 m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)
Risposta: Th,out = 80,26 °C
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Differenza di temperatura costante
L’uscita fredda si trova di fronte all’ingresso caldo: Tc,out = Tc,in + (Th,in − Th,out), quindi ΔT₁ = Th,in − Tc,out = Th,out − Tc,in = ΔT₂.
ΔTlm = Th,out − Tc,in
Bilancio energetico uguale all’equazione di scambio
1·(130 − Th,out) = 0,9·(Th,out − 25)
Th,out = (1·130 + 0,9·25)/(1 + 0,9) = 80,26 °C
Risposta
Th,out = 80,26 °C
Calore trasferito: Q̇ = 49,74 kW; la corrente fredda esce a 74,74 °C.
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