Conduzione del calore
- Legge di Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Resistenza conduttiva
- R = L/(kA)
- Resistenza convettiva
- R = 1/(hA)
- Resistenze in serie
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Trasmittanza U
- U = 1/(ΣR·A)
Trasmissione del calore: pacchetto last-minute
Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 4 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
1Formule e metodi
Scambiatori di calore (LMTD)
- Potenza termica
- Q = U·A·ΔTlm
- Differenza di temperatura media logaritmica
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilancio di una corrente
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Esercizi
1.Conduzione del caloreMedia
Una parete è composta da 150 mm di cartongesso e 100 mm di legno, con un’area di 12 m². Le facce esterne sono a 20 °C e 1 °C. Trova la temperatura Ti all’interfaccia tra i due strati.
L1 = 150 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 12 m²T1 = 20 °CT3 = 1 °C
Ti = °C
2.Conduzione del caloreDifficile
Una parete di 50 mm cartongesso e 75 mm vetro separa una stanza a 20 °C dall’aria esterna a -5 °C. I coefficienti di convezione sono 8 W/(m²·K) all’interno e 30 W/(m²·K) all’esterno, e l’area della parete è 8 m². Trova la trasmittanza termica U della parete.
L1 = 50 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,96 W/(m·K)A = 8 m²hi = 8 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -5 °C
U = W/(m²·K)
3.Scambiatori di calore (LMTD)Media
Uno scambiatore controcorrente trasferisce 270 kW. Il fluido caldo si raffredda da 100 a 85 °C e il fluido freddo si riscalda da 15 a 85 °C. Il coefficiente globale di scambio è 500 W/(m²·K). Trova l’area di scambio A necessaria.
Q̇ = 270 kWU = 500 W/(m²·K)Th: 100 → 85 °CTc: 15 → 85 °C
A = m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)Difficile
In uno scambiatore controcorrente entrambe le correnti hanno la stessa capacità termica oraria, ṁ·cp = 2 kW/K. La corrente calda entra a 175 °C e quella fredda a 20 °C. Lo scambiatore ha A = 6 m² e U = 200 W/(m²·K). Trova la temperatura di uscita della corrente calda Th,out.
Ch = Cc = 2 kW/KTh,in = 175 °CTc,in = 20 °CA = 6 m²U = 200 W/(m²·K)
Th,out = °C
3Soluzioni
1.Conduzione del calore
Risposta: Ti = 8,6 °C
Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.
Resistenze degli strati
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,17·12) = 0,07353 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,17·12) = 0,04902 K/W
Flusso termico
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 19/0,1225 = 155 W
Temperatura all’interfaccia
La temperatura scende nel primo strato di Q̇·R₁.
Ti = T1 − Q̇·R1 = 20 − 155·0,07353 = 8,6 °C
Risposta
Ti = 8,6 °C
2.Conduzione del calore
Risposta: U = 1,885 W/(m²·K)
Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.
Resistenze in serie
Ri = 1/(hiA) = 1/(8·8) = 0,01563 K/W
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,17·8) = 0,03676 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,96·8) = 0,009766 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·8) = 0,004167 K/W
ΣR = 0,06632 K/W
Coefficiente globale
U = 1/(A·ΣR) = 1/(8·0,06632) = 1,885 W/(m²·K)
Risposta
U = 1,885 W/(m²·K)
3.Scambiatori di calore (LMTD)
Risposta: A = 15,12 m²
Metodo LMTD: la differenza di temperatura tra le correnti cambia lungo lo scambiatore, quindi l’equazione usa la sua media logaritmica: Q̇ = U·A·ΔTlm, con ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), dove ΔT₁ e ΔT₂ sono le differenze ai due estremi. A parità di temperature di ingresso e uscita, la controcorrente dà un ΔTlm maggiore dell’equicorrente.
Differenze di temperatura agli estremi
In controcorrente l’ingresso caldo è di fronte all’uscita fredda, e l’uscita calda di fronte all’ingresso freddo.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 100 − 85 = 15 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 85 − 15 = 70 K
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (15 − 70)/ln(15/70) = 35,7 K
Area
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 270000/(500·35,7) = 15,12 m²
Risposta
A = 15,12 m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)
Risposta: Th,out = 116,9 °C
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Differenza di temperatura costante
L’uscita fredda si trova di fronte all’ingresso caldo: Tc,out = Tc,in + (Th,in − Th,out), quindi ΔT₁ = Th,in − Tc,out = Th,out − Tc,in = ΔT₂.
ΔTlm = Th,out − Tc,in
Bilancio energetico uguale all’equazione di scambio
2·(175 − Th,out) = 1,2·(Th,out − 20)
Th,out = (2·175 + 1,2·20)/(2 + 1,2) = 116,9 °C
Risposta
Th,out = 116,9 °C
Calore trasferito: Q̇ = 116,3 kW; la corrente fredda esce a 78,13 °C.
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