Trasmissione del calore: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 4 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Conduzione del calore

Legge di Fourier
Q̇ = kAΔT/L
Resistenza conduttiva
R = L/(kA)
Resistenza convettiva
R = 1/(hA)
Resistenze in serie
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Trasmittanza U
U = 1/(ΣR·A)

Scambiatori di calore (LMTD)

Potenza termica
Q = U·A·ΔTlm
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Bilancio di una corrente
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Esercizi

1.Conduzione del caloreMedia
Legno, k = 0,17250 mmMattone, k = 0,7225 mm16 °C4 °CTi​ = ?Q̇

Una parete è composta da 250 mm di legno e 25 mm di mattone, con un’area di 10 m². Le facce esterne sono a 16 °C e 4 °C. Trova la temperatura Ti all’interfaccia tra i due strati.

L1 = 250 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 10 m²T1 = 16 °CT3 = 4 °C
Ti = °C
2.Conduzione del caloreDifficile
Cartongesso, k = 0,17150 mmLegno, k = 0,1725 mmstanza 22 °Cesterno 1 °CQ̇ = ?

Una parete di 150 mm cartongesso e 25 mm legno separa una stanza a 22 °C dall’aria esterna a 1 °C. I coefficienti di convezione sono 6 W/(m²·K) all’interno e 30 W/(m²·K) all’esterno, e l’area della parete è 6 m². Trova la perdita di calore Q̇ attraverso la parete.

L1 = 150 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 6 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = 1 °C
Q̇ = W
3.Scambiatori di calore (LMTD)Media
lunghezzaT95 °C50 °C25 °C10 °CΔT₁ΔT₂controcorrente

Uno scambiatore a fascio tubiero (un passaggio lato mantello, due passaggi lato tubi) deve trasferire 170 kW. Il fluido caldo si raffredda da 95 a 50 °C e il fluido freddo si riscalda da 10 a 25 °C. Il fattore di correzione della LMTD per questa configurazione è F = 0,85, e U = 200 W/(m²·K). Trova l’area di scambio A necessaria.

Q̇ = 170 kWF = 0,85U = 200 W/(m²·K)Th: 95 → 50 °CTc: 10 → 25 °C
A = m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)Difficile
lunghezzaT120 °C25 °C?ΔT₁ΔT₂vapore che condensa

Il vapore condensa a 120 °C costanti all’esterno dei tubi di un condensatore con un’area di scambio di 4 m² e U = 1500 W/(m²·K). L’acqua di raffreddamento (1,5 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) entra nei tubi a 25 °C. Trova la temperatura di uscita dell’acqua Tc,out.

Ts = 120 °CA = 4 m²U = 1500 W/(m²·K)ṁ = 1,5 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 25 °C
Tc,out = °C

3Soluzioni

1.Conduzione del calore

Risposta: Ti = 4,277 °C

Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.

Resistenze degli strati

R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0,17·10) = 0,1471 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,72·10) = 0,003472 K/W

Flusso termico

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 12/0,1505 = 79,72 W

Temperatura all’interfaccia

La temperatura scende nel primo strato di Q̇·R₁.

Ti = T1 − Q̇·R1 = 16 − 79,72·0,1471 = 4,277 °C

Risposta

Ti = 4,277 °C
2.Conduzione del calore

Risposta: Q̇ = 102,5 W

Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.

Resistenze in serie

Ri = 1/(hiA) = 1/(6·6) = 0,02778 K/W
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,17·6) = 0,1471 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,17·6) = 0,02451 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·6) = 0,005556 K/W
ΣR = 0,2049 K/W

Perdita di calore

Q̇ = (22 − (1))/0,2049 = 102,5 W

Risposta

Q̇ = 102,5 W
3.Scambiatori di calore (LMTD)

Risposta: A = 18,65 m²

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Differenze di temperatura agli estremi (controcorrente)

In controcorrente l’ingresso caldo è di fronte all’uscita fredda, e l’uscita calda di fronte all’ingresso freddo.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 95 − 25 = 70 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 50 − 10 = 40 K

Differenza di temperatura media logaritmica

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (70 − 40)/ln(70/40) = 53,61 K

Area

A = Q̇/(U·F·ΔTlm,cf) = 170000/(200·0,85·53,61) = 18,65 m²

Risposta

A = 18,65 m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)

Risposta: Tc,out = 83,51 °C

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Combina il bilancio energetico e l’equazione di scambio

Con ΔT₁ = Ts − Tc,in e ΔT₂ = Ts − Tc,out, la differenza ΔT₁ − ΔT₂ è uguale all’aumento di temperatura dell’acqua, quindi l’aumento si semplifica.

ṁcp(ΔT₁ − ΔT₂) = U·A·(ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)
ln(ΔT₁/ΔT₂) = U·A/(ṁcp) = 1500·4/(1,5·4180) = 0,9569

Temperatura di uscita

ΔT₂ = ΔT₁·e−0,9569 = 95·0,3841 = 36,49 K
Tc,out = 120 − 36,49 = 83,51 °C

Risposta

Tc,out = 83,51 °C

Calore trasferito: Q̇ = 366,9 kW.

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