Trasmissione del calore: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 4 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Conduzione del calore

Legge di Fourier
Q̇ = kAΔT/L
Resistenza conduttiva
R = L/(kA)
Resistenza convettiva
R = 1/(hA)
Resistenze in serie
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Trasmittanza U
U = 1/(ΣR·A)

Scambiatori di calore (LMTD)

Potenza termica
Q = U·A·ΔTlm
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Bilancio di una corrente
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Esercizi

1.Conduzione del caloreMedia
Lana minerale, k = 0,04100 mmPolistirene espanso, k = 0,035150 mm21 °C-5 °CTi​ = ?Q̇

Una parete è composta da 100 mm di lana minerale e 150 mm di polistirene espanso, con un’area di 10 m². Le facce esterne sono a 21 °C e -5 °C. Trova la temperatura Ti all’interfaccia tra i due strati.

L1 = 100 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,035 W/(m·K)A = 10 m²T1 = 21 °CT3 = -5 °C
Ti = °C
2.Conduzione del caloreDifficile
Polistirene espanso, k = 0,035100 mmCartongesso, k = 0,17150 mmstanza 21 °Cesterno -12 °CQ̇

Una parete di 100 mm polistirene espanso e 150 mm cartongesso separa una stanza a 21 °C dall’aria esterna a -12 °C. I coefficienti di convezione sono 7,7 W/(m²·K) all’interno e 20 W/(m²·K) all’esterno, e l’area della parete è 15 m². Trova la trasmittanza termica U della parete.

L1 = 100 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 15 m²hi = 7,7 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -12 °C
U = W/(m²·K)
3.Scambiatori di calore (LMTD)Media
lunghezzaT105 °C90 °C30 °C80 °CΔT₁ΔT₂equicorrente

Uno scambiatore di calore equicorrente trasferisce 480 kW. La sua area di scambio è 3 m². Il fluido caldo si raffredda da 105 a 90 °C e il fluido freddo si riscalda da 30 a 80 °C. Trova il coefficiente globale di scambio U.

Q̇ = 480 kWA = 3 m²Th: 105 → 90 °CTc: 30 → 80 °C
U = W/(m²·K)
4.Scambiatori di calore (LMTD)Difficile
lunghezzaT160 °C85 °C40,63 °C20 °CΔT₁ΔT₂controcorrente

Olio caldo (1 kg/s, cp = 2,3 kJ/(kg·K)) si raffredda da 160 a 85 °C in uno scambiatore controcorrente. Riscalda 2 kg/s di acqua (cp = 4,18 kJ/(kg·K)) che entra a 20 °C. Con U = 300 W/(m²·K), trova l’area di scambio A necessaria.

ṁh = 1 kg/scp,h = 2,3 kJ/(kg·K)Th: 160 → 85 °Cṁc = 2 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 20 °CU = 300 W/(m²·K)
A = m²

3Soluzioni

1.Conduzione del calore

Risposta: Ti = 11,42 °C

Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.

Resistenze degli strati

R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,04·10) = 0,25 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,035·10) = 0,4286 K/W

Flusso termico

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 26/0,6786 = 38,32 W

Temperatura all’interfaccia

La temperatura scende nel primo strato di Q̇·R₁.

Ti = T1 − Q̇·R1 = 21 − 38,32·0,25 = 11,42 °C

Risposta

Ti = 11,42 °C
2.Conduzione del calore

Risposta: U = 0,2551 W/(m²·K)

Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.

Resistenze in serie

Ri = 1/(hiA) = 1/(7,7·15) = 0,008658 K/W
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,035·15) = 0,1905 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,17·15) = 0,05882 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·15) = 0,003333 K/W
ΣR = 0,2613 K/W

Coefficiente globale

U = 1/(A·ΣR) = 1/(15·0,2613) = 0,2551 W/(m²·K)

Risposta

U = 0,2551 W/(m²·K)
3.Scambiatori di calore (LMTD)

Risposta: U = 4960 W/(m²·K)

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Differenze di temperatura agli estremi

In equicorrente entrambi gli ingressi sono allo stesso estremo, ed entrambe le uscite all’altro.

ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 105 − 30 = 75 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 90 − 80 = 10 K

Differenza di temperatura media logaritmica

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (75 − 10)/ln(75/10) = 32,26 K

Coefficiente globale

U = Q̇/(A·ΔTlm) = 480000/(3·32,26) = 4960 W/(m²·K)

Risposta

U = 4960 W/(m²·K)
4.Scambiatori di calore (LMTD)

Risposta: A = 6,428 m²

Metodo LMTD: la differenza di temperatura tra le correnti cambia lungo lo scambiatore, quindi l’equazione usa la sua media logaritmica: Q̇ = U·A·ΔTlm, con ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), dove ΔT₁ e ΔT₂ sono le differenze ai due estremi. A parità di temperature di ingresso e uscita, la controcorrente dà un ΔTlm maggiore dell’equicorrente.

Potenza termica e temperatura di uscita dell’acqua

Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 1·2,3·75 = 172,5 kW
Tc,out = 20 + 172,5/(2·4,18) = 40,63 °C

Differenze di temperatura agli estremi

In controcorrente l’ingresso caldo è di fronte all’uscita fredda, e l’uscita calda di fronte all’ingresso freddo.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 160 − 40,63 = 119,4 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 85 − 20 = 65 K

Differenza di temperatura media logaritmica

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (119,4 − 65)/ln(119,4/65) = 89,45 K

Area

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 172500/(300·89,45) = 6,428 m²

Risposta

A = 6,428 m²

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