Trasmissione del calore: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 4 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Conduzione del calore

Legge di Fourier
Q̇ = kAΔT/L
Resistenza conduttiva
R = L/(kA)
Resistenza convettiva
R = 1/(hA)
Resistenze in serie
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Trasmittanza U
U = 1/(ΣR·A)

Scambiatori di calore (LMTD)

Potenza termica
Q = U·A·ΔTlm
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Bilancio di una corrente
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Esercizi

1.Conduzione del caloreMedia
Legno, k = 0,1750 mmLana minerale, k = 0,04100 mm19 °C0 °CQ̇ = ?

Una parete è composta da 50 mm di legno e 100 mm di lana minerale, con un’area di 12 m². Le facce esterne sono a 19 °C e 0 °C. Trova il flusso termico Q̇ attraverso la parete.

L1 = 50 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,04 W/(m·K)A = 12 m²T1 = 19 °CT3 = 0 °C
Q̇ = W
2.Conduzione del caloreDifficile
Mattone, k = 0,72150 mmCalcestruzzo, k = 1,425 mmstanza 20 °Cesterno 0 °CTs​ = ?Q̇

Una parete di 150 mm mattone e 25 mm calcestruzzo separa una stanza a 20 °C dall’aria esterna a 0 °C. I coefficienti di convezione sono 10 W/(m²·K) all’interno e 20 W/(m²·K) all’esterno, e l’area della parete è 8 m². Trova la temperatura Ts della superficie interna della parete.

L1 = 150 mm, k1 = 0,72 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 1,4 W/(m·K)A = 8 m²hi = 10 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = 0 °C
Ts = °C
3.Scambiatori di calore (LMTD)Media
lunghezzaT115 °C100 °C25 °C40 °CΔT₁ΔT₂equicorrente

Uno scambiatore equicorrente trasferisce 130 kW. Il fluido caldo si raffredda da 115 a 100 °C e il fluido freddo si riscalda da 25 a 40 °C. Il coefficiente globale di scambio è 1500 W/(m²·K). Trova l’area di scambio A necessaria.

Q̇ = 130 kWU = 1500 W/(m²·K)Th: 115 → 100 °CTc: 25 → 40 °C
A = m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)Difficile
lunghezzaT110 °C15 °C?ΔT₁ΔT₂vapore che condensa

Il vapore condensa a 110 °C costanti all’esterno dei tubi di un condensatore con un’area di scambio di 5 m² e U = 1000 W/(m²·K). L’acqua di raffreddamento (2 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) entra nei tubi a 15 °C. Trova la temperatura di uscita dell’acqua Tc,out.

Ts = 110 °CA = 5 m²U = 1000 W/(m²·K)ṁ = 2 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 15 °C
Tc,out = °C

3Soluzioni

1.Conduzione del calore

Risposta: Q̇ = 81,6 W

Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.

Resistenze degli strati

R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,17·12) = 0,02451 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,04·12) = 0,2083 K/W

Flusso termico

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 19/0,2328 = 81,6 W

Risposta

Q̇ = 81,6 W
2.Conduzione del calore

Risposta: Ts = 14,68 °C

Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.

Resistenze in serie

Ri = 1/(hiA) = 1/(10·8) = 0,0125 K/W
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,72·8) = 0,02604 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(1,4·8) = 0,002232 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·8) = 0,00625 K/W
ΣR = 0,04702 K/W

Perdita di calore

Q̇ = (20 − (0))/0,04702 = 425,3 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 20 − 425,3·0,0125 = 14,68 °C

Risposta

Ts = 14,68 °C
3.Scambiatori di calore (LMTD)

Risposta: A = 1,171 m²

Metodo LMTD: la differenza di temperatura tra le correnti cambia lungo lo scambiatore, quindi l’equazione usa la sua media logaritmica: Q̇ = U·A·ΔTlm, con ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), dove ΔT₁ e ΔT₂ sono le differenze ai due estremi. A parità di temperature di ingresso e uscita, la controcorrente dà un ΔTlm maggiore dell’equicorrente.

Differenze di temperatura agli estremi

In equicorrente entrambi gli ingressi sono allo stesso estremo, ed entrambe le uscite all’altro.

ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 115 − 25 = 90 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 100 − 40 = 60 K

Differenza di temperatura media logaritmica

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (90 − 60)/ln(90/60) = 73,99 K

Area

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 130000/(1500·73,99) = 1,171 m²

Risposta

A = 1,171 m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)

Risposta: Tc,out = 57,76 °C

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Combina il bilancio energetico e l’equazione di scambio

Con ΔT₁ = Ts − Tc,in e ΔT₂ = Ts − Tc,out, la differenza ΔT₁ − ΔT₂ è uguale all’aumento di temperatura dell’acqua, quindi l’aumento si semplifica.

ṁcp(ΔT₁ − ΔT₂) = U·A·(ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)
ln(ΔT₁/ΔT₂) = U·A/(ṁcp) = 1000·5/(2·4180) = 0,5981

Temperatura di uscita

ΔT₂ = ΔT₁·e−0,5981 = 95·0,5499 = 52,24 K
Tc,out = 110 − 52,24 = 57,76 °C

Risposta

Tc,out = 57,76 °C

Calore trasferito: Q̇ = 357,5 kW.

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