Trasmissione del calore: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 4 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Conduzione del calore

Legge di Fourier
Q̇ = kAΔT/L
Resistenza conduttiva
R = L/(kA)
Resistenza convettiva
R = 1/(hA)
Resistenze in serie
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Trasmittanza U
U = 1/(ΣR·A)

Scambiatori di calore (LMTD)

Potenza termica
Q = U·A·ΔTlm
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Bilancio di una corrente
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Esercizi

1.Conduzione del caloreMedia
Legno, k = 0,17250 mmVetro, k = 0,96100 mm18 °C-9 °CTi​ = ?Q̇

Una parete è composta da 250 mm di legno e 100 mm di vetro, con un’area di 10 m². Le facce esterne sono a 18 °C e -9 °C. Trova la temperatura Ti all’interfaccia tra i due strati.

L1 = 250 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,96 W/(m·K)A = 10 m²T1 = 18 °CT3 = -9 °C
Ti = °C
2.Conduzione del caloreDifficile
Cartongesso, k = 0,17200 mmVetro, k = 0,9650 mmstanza 20 °Cesterno 4 °CTs​ = ?Q̇

Una parete di 200 mm cartongesso e 50 mm vetro separa una stanza a 20 °C dall’aria esterna a 4 °C. I coefficienti di convezione sono 6 W/(m²·K) all’interno e 25 W/(m²·K) all’esterno, e l’area della parete è 20 m². Trova la temperatura Ts della superficie interna della parete.

L1 = 200 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,96 W/(m·K)A = 20 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = 4 °C
Ts = °C
3.Scambiatori di calore (LMTD)Media
lunghezzaT160 °C90 °C50 °C15 °CΔT₁ΔT₂controcorrente

Uno scambiatore di calore controcorrente trasferisce 270 kW. La sua area di scambio è 20 m². Il fluido caldo si raffredda da 160 a 90 °C e il fluido freddo si riscalda da 15 a 50 °C. Trova il coefficiente globale di scambio U.

Q̇ = 270 kWA = 20 m²Th: 160 → 90 °CTc: 15 → 50 °C
U = W/(m²·K)
4.Scambiatori di calore (LMTD)Difficile
lunghezzaT135 °C100 °C34,26 °C15 °CΔT₁ΔT₂controcorrente

Olio caldo (1 kg/s, cp = 2,3 kJ/(kg·K)) si raffredda da 135 a 100 °C in uno scambiatore controcorrente. Riscalda 1 kg/s di acqua (cp = 4,18 kJ/(kg·K)) che entra a 15 °C. Con U = 800 W/(m²·K), trova l’area di scambio A necessaria.

ṁh = 1 kg/scp,h = 2,3 kJ/(kg·K)Th: 135 → 100 °Cṁc = 1 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 15 °CU = 800 W/(m²·K)
A = m²

3Soluzioni

1.Conduzione del calore

Risposta: Ti = −7,214 °C

Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.

Resistenze degli strati

R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0,17·10) = 0,1471 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,96·10) = 0,01042 K/W

Flusso termico

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 27/0,1575 = 171,5 W

Temperatura all’interfaccia

La temperatura scende nel primo strato di Q̇·R₁.

Ti = T1 − Q̇·R1 = 18 − 171,5·0,1471 = −7,214 °C

Risposta

Ti = −7,214 °C
2.Conduzione del calore

Risposta: Ts = 18,14 °C

Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.

Resistenze in serie

Ri = 1/(hiA) = 1/(6·20) = 0,008333 K/W
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,17·20) = 0,05882 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,96·20) = 0,002604 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·20) = 0,002 K/W
ΣR = 0,07176 K/W

Perdita di calore

Q̇ = (20 − (4))/0,07176 = 223 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 20 − 223·0,008333 = 18,14 °C

Risposta

Ts = 18,14 °C
3.Scambiatori di calore (LMTD)

Risposta: U = 147,7 W/(m²·K)

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Differenze di temperatura agli estremi

In controcorrente l’ingresso caldo è di fronte all’uscita fredda, e l’uscita calda di fronte all’ingresso freddo.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 160 − 50 = 110 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 90 − 15 = 75 K

Differenza di temperatura media logaritmica

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (110 − 75)/ln(110/75) = 91,39 K

Coefficiente globale

U = Q̇/(A·ΔTlm) = 270000/(20·91,39) = 147,7 W/(m²·K)

Risposta

U = 147,7 W/(m²·K)
4.Scambiatori di calore (LMTD)

Risposta: A = 1,086 m²

Metodo LMTD: la differenza di temperatura tra le correnti cambia lungo lo scambiatore, quindi l’equazione usa la sua media logaritmica: Q̇ = U·A·ΔTlm, con ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), dove ΔT₁ e ΔT₂ sono le differenze ai due estremi. A parità di temperature di ingresso e uscita, la controcorrente dà un ΔTlm maggiore dell’equicorrente.

Potenza termica e temperatura di uscita dell’acqua

Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 1·2,3·35 = 80,5 kW
Tc,out = 15 + 80,5/(1·4,18) = 34,26 °C

Differenze di temperatura agli estremi

In controcorrente l’ingresso caldo è di fronte all’uscita fredda, e l’uscita calda di fronte all’ingresso freddo.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 135 − 34,26 = 100,7 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 100 − 15 = 85 K

Differenza di temperatura media logaritmica

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (100,7 − 85)/ln(100,7/85) = 92,65 K

Area

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 80500/(800·92,65) = 1,086 m²

Risposta

A = 1,086 m²

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