Conduzione del calore
- Legge di Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Resistenza conduttiva
- R = L/(kA)
- Resistenza convettiva
- R = 1/(hA)
- Resistenze in serie
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Trasmittanza U
- U = 1/(ΣR·A)
Trasmissione del calore: pacchetto last-minute
Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 4 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
1Formule e metodi
Scambiatori di calore (LMTD)
- Potenza termica
- Q = U·A·ΔTlm
- Differenza di temperatura media logaritmica
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilancio di una corrente
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Esercizi
1.Conduzione del caloreMedia
Una parete è composta da 150 mm di legno e 100 mm di mattone, con un’area di 6 m². Le facce esterne sono a 17 °C e 5 °C. Trova la temperatura Ti all’interfaccia tra i due strati.
L1 = 150 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 6 m²T1 = 17 °CT3 = 5 °C
Ti = °C
2.Conduzione del caloreDifficile
Una parete di 250 mm mattone e 25 mm vetro separa una stanza a 21 °C dall’aria esterna a -5 °C. I coefficienti di convezione sono 8 W/(m²·K) all’interno e 30 W/(m²·K) all’esterno, e l’area della parete è 4 m². Trova la trasmittanza termica U della parete.
L1 = 250 mm, k1 = 0,72 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,96 W/(m·K)A = 4 m²hi = 8 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -5 °C
U = W/(m²·K)
3.Scambiatori di calore (LMTD)Media
Uno scambiatore di calore equicorrente trasferisce 390 kW. La sua area di scambio è 3 m². Il fluido caldo si raffredda da 155 a 105 °C e il fluido freddo si riscalda da 20 a 95 °C. Trova il coefficiente globale di scambio U.
Q̇ = 390 kWA = 3 m²Th: 155 → 105 °CTc: 20 → 95 °C
U = W/(m²·K)
4.Scambiatori di calore (LMTD)Difficile
Olio caldo (1,5 kg/s, cp = 2,1 kJ/(kg·K)) si raffredda da 160 a 80 °C in uno scambiatore controcorrente. Riscalda 0,5 kg/s di acqua (cp = 4,18 kJ/(kg·K)) che entra a 20 °C. Con U = 300 W/(m²·K), trova l’area di scambio A necessaria.
ṁh = 1,5 kg/scp,h = 2,1 kJ/(kg·K)Th: 160 → 80 °Cṁc = 0,5 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 20 °CU = 300 W/(m²·K)
A = m²
3Soluzioni
1.Conduzione del calore
Risposta: Ti = 6,632 °C
Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.
Resistenze degli strati
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,17·6) = 0,1471 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,72·6) = 0,02315 K/W
Flusso termico
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 12/0,1702 = 70,5 W
Temperatura all’interfaccia
La temperatura scende nel primo strato di Q̇·R₁.
Ti = T1 − Q̇·R1 = 17 − 70,5·0,1471 = 6,632 °C
Risposta
Ti = 6,632 °C
2.Conduzione del calore
Risposta: U = 1,881 W/(m²·K)
Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.
Resistenze in serie
Ri = 1/(hiA) = 1/(8·4) = 0,03125 K/W
R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0,72·4) = 0,08681 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,96·4) = 0,00651 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·4) = 0,008333 K/W
ΣR = 0,1329 K/W
Coefficiente globale
U = 1/(A·ΣR) = 1/(4·0,1329) = 1,881 W/(m²·K)
Risposta
U = 1,881 W/(m²·K)
3.Scambiatori di calore (LMTD)
Risposta: U = 2707 W/(m²·K)
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Differenze di temperatura agli estremi
In equicorrente entrambi gli ingressi sono allo stesso estremo, ed entrambe le uscite all’altro.
ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 155 − 20 = 135 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 105 − 95 = 10 K
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (135 − 10)/ln(135/10) = 48,03 K
Coefficiente globale
U = Q̇/(A·ΔTlm) = 390000/(3·48,03) = 2707 W/(m²·K)
Risposta
U = 2707 W/(m²·K)
4.Scambiatori di calore (LMTD)
Risposta: A = 23,35 m²
Metodo LMTD: la differenza di temperatura tra le correnti cambia lungo lo scambiatore, quindi l’equazione usa la sua media logaritmica: Q̇ = U·A·ΔTlm, con ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), dove ΔT₁ e ΔT₂ sono le differenze ai due estremi. A parità di temperature di ingresso e uscita, la controcorrente dà un ΔTlm maggiore dell’equicorrente.
Potenza termica e temperatura di uscita dell’acqua
Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 1,5·2,1·80 = 252 kW
Tc,out = 20 + 252/(0,5·4,18) = 140,6 °C
Differenze di temperatura agli estremi
In controcorrente l’ingresso caldo è di fronte all’uscita fredda, e l’uscita calda di fronte all’ingresso freddo.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 160 − 140,6 = 19,43 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 80 − 20 = 60 K
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (19,43 − 60)/ln(19,43/60) = 35,98 K
Area
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 252000/(300·35,98) = 23,35 m²
Risposta
A = 23,35 m²
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