Conduzione del calore
- Legge di Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Resistenza conduttiva
- R = L/(kA)
- Resistenza convettiva
- R = 1/(hA)
- Resistenze in serie
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Trasmittanza U
- U = 1/(ΣR·A)
Trasmissione del calore: pacchetto last-minute
Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 4 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
1Formule e metodi
Scambiatori di calore (LMTD)
- Potenza termica
- Q = U·A·ΔTlm
- Differenza di temperatura media logaritmica
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilancio di una corrente
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Esercizi
1.Conduzione del caloreMedia
Una parete è composta da 250 mm di polistirene espanso e 150 mm di cartongesso, con un’area di 15 m². Le facce esterne sono a 19 °C e 5 °C. Trova la temperatura Ti all’interfaccia tra i due strati.
L1 = 250 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 15 m²T1 = 19 °CT3 = 5 °C
Ti = °C
2.Conduzione del caloreDifficile
Una parete di 50 mm lana minerale e 25 mm mattone separa una stanza a 20 °C dall’aria esterna a -15 °C. I coefficienti di convezione sono 7,7 W/(m²·K) all’interno e 30 W/(m²·K) all’esterno, e l’area della parete è 12 m². Trova la perdita di calore Q̇ attraverso la parete.
L1 = 50 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 12 m²hi = 7,7 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -15 °C
Q̇ = W
3.Scambiatori di calore (LMTD)Media
Uno scambiatore controcorrente trasferisce 110 kW. Il fluido caldo si raffredda da 80 a 30 °C e il fluido freddo si riscalda da 10 a 40 °C. Il coefficiente globale di scambio è 1500 W/(m²·K). Trova l’area di scambio A necessaria.
Q̇ = 110 kWU = 1500 W/(m²·K)Th: 80 → 30 °CTc: 10 → 40 °C
A = m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)Difficile
In uno scambiatore a doppio tubo controcorrente, olio caldo (1 kg/s, cp = 2,1 kJ/(kg·K)) scorre nel tubo interno e si raffredda da 145 a 110 °C. Acqua (1,5 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) nell’intercapedine anulare entra a 10 °C. Il tubo interno ha un diametro di 20 mm, e U = 150 W/(m²·K) è riferito a questo diametro. Trova la lunghezza del tubo L necessaria.
ṁh = 1 kg/scp,h = 2,1 kJ/(kg·K)Th: 145 → 110 °Cṁc = 1,5 kg/sTc,in = 10 °CD = 20 mmU = 150 W/(m²·K)
L = m
3Soluzioni
1.Conduzione del calore
Risposta: Ti = 6,539 °C
Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.
Resistenze degli strati
R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0,035·15) = 0,4762 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,17·15) = 0,05882 K/W
Flusso termico
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 14/0,535 = 26,17 W
Temperatura all’interfaccia
La temperatura scende nel primo strato di Q̇·R₁.
Ti = T1 − Q̇·R1 = 19 − 26,17·0,4762 = 6,539 °C
Risposta
Ti = 6,539 °C
2.Conduzione del calore
Risposta: Q̇ = 290,1 W
Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.
Resistenze in serie
Ri = 1/(hiA) = 1/(7,7·12) = 0,01082 K/W
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,04·12) = 0,1042 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,72·12) = 0,002894 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·12) = 0,002778 K/W
ΣR = 0,1207 K/W
Perdita di calore
Q̇ = (20 − (-15))/0,1207 = 290,1 W
Risposta
Q̇ = 290,1 W
3.Scambiatori di calore (LMTD)
Risposta: A = 2,542 m²
Metodo LMTD: la differenza di temperatura tra le correnti cambia lungo lo scambiatore, quindi l’equazione usa la sua media logaritmica: Q̇ = U·A·ΔTlm, con ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), dove ΔT₁ e ΔT₂ sono le differenze ai due estremi. A parità di temperature di ingresso e uscita, la controcorrente dà un ΔTlm maggiore dell’equicorrente.
Differenze di temperatura agli estremi
In controcorrente l’ingresso caldo è di fronte all’uscita fredda, e l’uscita calda di fronte all’ingresso freddo.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 80 − 40 = 40 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 30 − 10 = 20 K
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (40 − 20)/ln(40/20) = 28,85 K
Area
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 110000/(1500·28,85) = 2,542 m²
Risposta
A = 2,542 m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)
Risposta: L = 70,11 m
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Potenza termica e temperatura di uscita dell’acqua
Q̇ = 1·2,1·(145 − 110) = 73,5 kW
Tc,out = 10 + 73,5/(1,5·4,18) = 21,72 °C
Differenze di temperatura agli estremi
In controcorrente l’ingresso caldo è di fronte all’uscita fredda, e l’uscita calda di fronte all’ingresso freddo.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 145 − 21,72 = 123,3 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 110 − 10 = 100 K
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (123,3 − 100)/ln(123,3/100) = 111,2 K
Area e lunghezza
A = 73500/(150·111,2) = 4,405 m²
L = A/(πD) = 4,405/(π·0,02) = 70,11 m
Risposta
L = 70,11 m
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