Conduzione del calore
- Legge di Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Resistenza conduttiva
- R = L/(kA)
- Resistenza convettiva
- R = 1/(hA)
- Resistenze in serie
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Trasmittanza U
- U = 1/(ΣR·A)
Trasmissione del calore: pacchetto last-minute
Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 4 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
1Formule e metodi
Scambiatori di calore (LMTD)
- Potenza termica
- Q = U·A·ΔTlm
- Differenza di temperatura media logaritmica
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilancio di una corrente
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Esercizi
1.Conduzione del caloreMedia
Una parete è composta da 100 mm di polistirene espanso e 100 mm di legno, con un’area di 6 m². Le facce esterne sono a 19 °C e -2 °C. Trova il flusso termico Q̇ attraverso la parete.
L1 = 100 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 6 m²T1 = 19 °CT3 = -2 °C
Q̇ = W
2.Conduzione del caloreDifficile
Una parete di 200 mm vetro e 50 mm polistirene espanso separa una stanza a 20 °C dall’aria esterna a -15 °C. I coefficienti di convezione sono 10 W/(m²·K) all’interno e 30 W/(m²·K) all’esterno, e l’area della parete è 8 m². Trova la temperatura Ts della superficie interna della parete.
L1 = 200 mm, k1 = 0,96 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,035 W/(m·K)A = 8 m²hi = 10 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -15 °C
Ts = °C
3.Scambiatori di calore (LMTD)Media
Uno scambiatore equicorrente trasferisce 360 kW. Il fluido caldo si raffredda da 100 a 75 °C e il fluido freddo si riscalda da 10 a 40 °C. Il coefficiente globale di scambio è 500 W/(m²·K). Trova l’area di scambio A necessaria.
Q̇ = 360 kWU = 500 W/(m²·K)Th: 100 → 75 °CTc: 10 → 40 °C
A = m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)Difficile
In uno scambiatore a doppio tubo equicorrente, olio caldo (0,5 kg/s, cp = 2,3 kJ/(kg·K)) scorre nel tubo interno e si raffredda da 150 a 55 °C. Acqua (1,5 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) nell’intercapedine anulare entra a 25 °C. Il tubo interno ha un diametro di 32 mm, e U = 150 W/(m²·K) è riferito a questo diametro. Trova la lunghezza del tubo L necessaria.
ṁh = 0,5 kg/scp,h = 2,3 kJ/(kg·K)Th: 150 → 55 °Cṁc = 1,5 kg/sTc,in = 25 °CD = 32 mmU = 150 W/(m²·K)
L = m
3Soluzioni
1.Conduzione del calore
Risposta: Q̇ = 36,57 W
Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.
Resistenze degli strati
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,035·6) = 0,4762 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,17·6) = 0,09804 K/W
Flusso termico
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 21/0,5742 = 36,57 W
Risposta
Q̇ = 36,57 W
2.Conduzione del calore
Risposta: Ts = 18,02 °C
Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.
Resistenze in serie
Ri = 1/(hiA) = 1/(10·8) = 0,0125 K/W
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,96·8) = 0,02604 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,035·8) = 0,1786 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·8) = 0,004167 K/W
ΣR = 0,2213 K/W
Perdita di calore
Q̇ = (20 − (-15))/0,2213 = 158,2 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 20 − 158,2·0,0125 = 18,02 °C
Risposta
Ts = 18,02 °C
3.Scambiatori di calore (LMTD)
Risposta: A = 12,36 m²
Metodo LMTD: la differenza di temperatura tra le correnti cambia lungo lo scambiatore, quindi l’equazione usa la sua media logaritmica: Q̇ = U·A·ΔTlm, con ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), dove ΔT₁ e ΔT₂ sono le differenze ai due estremi. A parità di temperature di ingresso e uscita, la controcorrente dà un ΔTlm maggiore dell’equicorrente.
Differenze di temperatura agli estremi
In equicorrente entrambi gli ingressi sono allo stesso estremo, ed entrambe le uscite all’altro.
ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 100 − 10 = 90 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 75 − 40 = 35 K
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (90 − 35)/ln(90/35) = 58,23 K
Area
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 360000/(500·58,23) = 12,36 m²
Risposta
A = 12,36 m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)
Risposta: L = 148 m
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Potenza termica e temperatura di uscita dell’acqua
Q̇ = 0,5·2,3·(150 − 55) = 109,2 kW
Tc,out = 25 + 109,2/(1,5·4,18) = 42,42 °C
Differenze di temperatura agli estremi
In equicorrente entrambi gli ingressi sono allo stesso estremo, ed entrambe le uscite all’altro.
ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 150 − 25 = 125 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 55 − 42,42 = 12,58 K
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (125 − 12,58)/ln(125/12,58) = 48,95 K
Area e lunghezza
A = 109250/(150·48,95) = 14,88 m²
L = A/(πD) = 14,88/(π·0,032) = 148 m
Risposta
L = 148 m
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