Trasmissione del calore: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 4 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

Nuovi eserciziTorna al corso

Nella finestra di stampa scegli “Salva come PDF” per conservarne una copia sul tuo dispositivo.

1Formule e metodi

Conduzione del calore

Legge di Fourier
Q̇ = kAΔT/L
Resistenza conduttiva
R = L/(kA)
Resistenza convettiva
R = 1/(hA)
Resistenze in serie
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Trasmittanza U
U = 1/(ΣR·A)

Scambiatori di calore (LMTD)

Potenza termica
Q = U·A·ΔTlm
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Bilancio di una corrente
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Esercizi

1.Conduzione del caloreMedia
Lana minerale, k = 0,04150 mmPolistirene espanso, k = 0,03575 mm21 °C9 °CTi​ = ?Q̇

Una parete è composta da 150 mm di lana minerale e 75 mm di polistirene espanso, con un’area di 8 m². Le facce esterne sono a 21 °C e 9 °C. Trova la temperatura Ti all’interfaccia tra i due strati.

L1 = 150 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,035 W/(m·K)A = 8 m²T1 = 21 °CT3 = 9 °C
Ti = °C
2.Conduzione del caloreDifficile
Calcestruzzo, k = 1,4150 mmMattone, k = 0,72100 mmstanza 20 °Cesterno -10 °CQ̇

Una parete di 150 mm calcestruzzo e 100 mm mattone separa una stanza a 20 °C dall’aria esterna a -10 °C. I coefficienti di convezione sono 6 W/(m²·K) all’interno e 30 W/(m²·K) all’esterno, e l’area della parete è 8 m². Trova la trasmittanza termica U della parete.

L1 = 150 mm, k1 = 1,4 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 8 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -10 °C
U = W/(m²·K)
3.Scambiatori di calore (LMTD)Media
lunghezzaT110 °C65 °C90 °C15 °CΔT₁ΔT₂controcorrente

Uno scambiatore a fascio tubiero (un passaggio lato mantello, due passaggi lato tubi) deve trasferire 780 kW. Il fluido caldo si raffredda da 110 a 65 °C e il fluido freddo si riscalda da 15 a 90 °C. Il fattore di correzione della LMTD per questa configurazione è F = 0,8, e U = 1000 W/(m²·K). Trova l’area di scambio A necessaria.

Q̇ = 780 kWF = 0,8U = 1000 W/(m²·K)Th: 110 → 65 °CTc: 15 → 90 °C
A = m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)Difficile
lunghezzaT100 °C10 °C?ΔT₁ΔT₂vapore che condensa

Il vapore condensa a 100 °C costanti all’esterno dei tubi di un condensatore con un’area di scambio di 1 m² e U = 3000 W/(m²·K). L’acqua di raffreddamento (2 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) entra nei tubi a 10 °C. Trova la temperatura di uscita dell’acqua Tc,out.

Ts = 100 °CA = 1 m²U = 3000 W/(m²·K)ṁ = 2 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 10 °C
Tc,out = °C

3Soluzioni

1.Conduzione del calore

Risposta: Ti = 13,36 °C

Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.

Resistenze degli strati

R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,04·8) = 0,4688 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,035·8) = 0,2679 K/W

Flusso termico

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 12/0,7366 = 16,29 W

Temperatura all’interfaccia

La temperatura scende nel primo strato di Q̇·R₁.

Ti = T1 − Q̇·R1 = 21 − 16,29·0,4688 = 13,36 °C

Risposta

Ti = 13,36 °C
2.Conduzione del calore

Risposta: U = 2,242 W/(m²·K)

Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.

Resistenze in serie

Ri = 1/(hiA) = 1/(6·8) = 0,02083 K/W
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(1,4·8) = 0,01339 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,72·8) = 0,01736 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·8) = 0,004167 K/W
ΣR = 0,05575 K/W

Coefficiente globale

U = 1/(A·ΣR) = 1/(8·0,05575) = 2,242 W/(m²·K)

Risposta

U = 2,242 W/(m²·K)
3.Scambiatori di calore (LMTD)

Risposta: A = 29,78 m²

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Differenze di temperatura agli estremi (controcorrente)

In controcorrente l’ingresso caldo è di fronte all’uscita fredda, e l’uscita calda di fronte all’ingresso freddo.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 110 − 90 = 20 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 65 − 15 = 50 K

Differenza di temperatura media logaritmica

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (20 − 50)/ln(20/50) = 32,74 K

Area

A = Q̇/(U·F·ΔTlm,cf) = 780000/(1000·0,8·32,74) = 29,78 m²

Risposta

A = 29,78 m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)

Risposta: Tc,out = 37,14 °C

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Combina il bilancio energetico e l’equazione di scambio

Con ΔT₁ = Ts − Tc,in e ΔT₂ = Ts − Tc,out, la differenza ΔT₁ − ΔT₂ è uguale all’aumento di temperatura dell’acqua, quindi l’aumento si semplifica.

ṁcp(ΔT₁ − ΔT₂) = U·A·(ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)
ln(ΔT₁/ΔT₂) = U·A/(ṁcp) = 3000·1/(2·4180) = 0,3589

Temperatura di uscita

ΔT₂ = ΔT₁·e−0,3589 = 90·0,6985 = 62,86 K
Tc,out = 100 − 62,86 = 37,14 °C

Risposta

Tc,out = 37,14 °C

Calore trasferito: Q̇ = 226,9 kW.

ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer