Conduzione del calore
- Legge di Fourier
- Q̇ = kAΔT/L
- Resistenza conduttiva
- R = L/(kA)
- Resistenza convettiva
- R = 1/(hA)
- Resistenze in serie
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Trasmittanza U
- U = 1/(ΣR·A)
Trasmissione del calore: pacchetto last-minute
Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 4 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
1Formule e metodi
Scambiatori di calore (LMTD)
- Potenza termica
- Q = U·A·ΔTlm
- Differenza di temperatura media logaritmica
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Bilancio di una corrente
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Esercizi
1.Conduzione del caloreMedia
Una parete è composta da 50 mm di legno e 50 mm di mattone, con un’area di 20 m². Le facce esterne sono a 23 °C e -7 °C. Trova il flusso termico Q̇ attraverso la parete.
L1 = 50 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 20 m²T1 = 23 °CT3 = -7 °C
Q̇ = W
2.Conduzione del caloreDifficile
Una parete di 100 mm mattone e 150 mm calcestruzzo separa una stanza a 20 °C dall’aria esterna a -6 °C. I coefficienti di convezione sono 6 W/(m²·K) all’interno e 25 W/(m²·K) all’esterno, e l’area della parete è 20 m². Trova la perdita di calore Q̇ attraverso la parete.
L1 = 100 mm, k1 = 0,72 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 1,4 W/(m·K)A = 20 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -6 °C
Q̇ = W
3.Scambiatori di calore (LMTD)Media
Uno scambiatore a fascio tubiero (un passaggio lato mantello, due passaggi lato tubi) deve trasferire 570 kW. Il fluido caldo si raffredda da 95 a 35 °C e il fluido freddo si riscalda da 20 a 50 °C. Il fattore di correzione della LMTD per questa configurazione è F = 0,88, e U = 300 W/(m²·K). Trova l’area di scambio A necessaria.
Q̇ = 570 kWF = 0,88U = 300 W/(m²·K)Th: 95 → 35 °CTc: 20 → 50 °C
A = m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)Difficile
Olio caldo (0,5 kg/s, cp = 2,1 kJ/(kg·K)) si raffredda da 165 a 40 °C in uno scambiatore controcorrente. Riscalda 1 kg/s di acqua (cp = 4,18 kJ/(kg·K)) che entra a 10 °C. Con U = 300 W/(m²·K), trova l’area di scambio A necessaria.
ṁh = 0,5 kg/scp,h = 2,1 kJ/(kg·K)Th: 165 → 40 °Cṁc = 1 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 10 °CU = 300 W/(m²·K)
A = m²
3Soluzioni
1.Conduzione del calore
Risposta: Q̇ = 1650 W
Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.
Resistenze degli strati
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,17·20) = 0,01471 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,72·20) = 0,003472 K/W
Flusso termico
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 30/0,01818 = 1650 W
Risposta
Q̇ = 1650 W
2.Conduzione del calore
Risposta: Q̇ = 1149 W
Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.
Resistenze in serie
Ri = 1/(hiA) = 1/(6·20) = 0,008333 K/W
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,72·20) = 0,006944 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(1,4·20) = 0,005357 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·20) = 0,002 K/W
ΣR = 0,02263 K/W
Perdita di calore
Q̇ = (20 − (-6))/0,02263 = 1149 W
Risposta
Q̇ = 1149 W
3.Scambiatori di calore (LMTD)
Risposta: A = 79,07 m²
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Differenze di temperatura agli estremi (controcorrente)
In controcorrente l’ingresso caldo è di fronte all’uscita fredda, e l’uscita calda di fronte all’ingresso freddo.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 95 − 50 = 45 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 35 − 20 = 15 K
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (45 − 15)/ln(45/15) = 27,31 K
Area
A = Q̇/(U·F·ΔTlm,cf) = 570000/(300·0,88·27,31) = 79,07 m²
Risposta
A = 79,07 m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)
Risposta: A = 6,618 m²
Metodo LMTD: la differenza di temperatura tra le correnti cambia lungo lo scambiatore, quindi l’equazione usa la sua media logaritmica: Q̇ = U·A·ΔTlm, con ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), dove ΔT₁ e ΔT₂ sono le differenze ai due estremi. A parità di temperature di ingresso e uscita, la controcorrente dà un ΔTlm maggiore dell’equicorrente.
Potenza termica e temperatura di uscita dell’acqua
Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 0,5·2,1·125 = 131,3 kW
Tc,out = 10 + 131,3/(1·4,18) = 41,4 °C
Differenze di temperatura agli estremi
In controcorrente l’ingresso caldo è di fronte all’uscita fredda, e l’uscita calda di fronte all’ingresso freddo.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 165 − 41,4 = 123,6 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 40 − 10 = 30 K
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (123,6 − 30)/ln(123,6/30) = 66,11 K
Area
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 131250/(300·66,11) = 6,618 m²
Risposta
A = 6,618 m²
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