Trasmissione del calore: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 4 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

Nuovi eserciziTorna al corso

Nella finestra di stampa scegli “Salva come PDF” per conservarne una copia sul tuo dispositivo.

1Formule e metodi

Conduzione del calore

Legge di Fourier
Q̇ = kAΔT/L
Resistenza conduttiva
R = L/(kA)
Resistenza convettiva
R = 1/(hA)
Resistenze in serie
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Trasmittanza U
U = 1/(ΣR·A)

Scambiatori di calore (LMTD)

Potenza termica
Q = U·A·ΔTlm
Differenza di temperatura media logaritmica
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Bilancio di una corrente
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Esercizi

1.Conduzione del caloreMedia
Lana minerale, k = 0,0450 mmLegno, k = 0,1750 mm22 °C7 °CQ̇ = ?

Una parete è composta da 50 mm di lana minerale e 50 mm di legno, con un’area di 20 m². Le facce esterne sono a 22 °C e 7 °C. Trova il flusso termico Q̇ attraverso la parete.

L1 = 50 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 20 m²T1 = 22 °CT3 = 7 °C
Q̇ = W
2.Conduzione del caloreDifficile
Mattone, k = 0,72150 mmLana minerale, k = 0,04150 mmstanza 22 °Cesterno -2 °CQ̇

Una parete di 150 mm mattone e 150 mm lana minerale separa una stanza a 22 °C dall’aria esterna a -2 °C. I coefficienti di convezione sono 6 W/(m²·K) all’interno e 20 W/(m²·K) all’esterno, e l’area della parete è 10 m². Trova la trasmittanza termica U della parete.

L1 = 150 mm, k1 = 0,72 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,04 W/(m·K)A = 10 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = -2 °C
U = W/(m²·K)
3.Scambiatori di calore (LMTD)Media
lunghezzaT120 °C65 °C100 °C30 °CΔT₁ΔT₂controcorrente

Uno scambiatore a fascio tubiero (un passaggio lato mantello, due passaggi lato tubi) deve trasferire 590 kW. Il fluido caldo si raffredda da 120 a 65 °C e il fluido freddo si riscalda da 30 a 100 °C. Il fattore di correzione della LMTD per questa configurazione è F = 0,92, e U = 500 W/(m²·K). Trova l’area di scambio A necessaria.

Q̇ = 590 kWF = 0,92U = 500 W/(m²·K)Th: 120 → 65 °CTc: 30 → 100 °C
A = m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)Difficile
lunghezzaT160 °C130 °C36 °C25 °CΔT₁ΔT₂controcorrente

Olio caldo (2 kg/s, cp = 2,3 kJ/(kg·K)) si raffredda da 160 a 130 °C in uno scambiatore controcorrente. Riscalda 3 kg/s di acqua (cp = 4,18 kJ/(kg·K)) che entra a 25 °C. Con U = 500 W/(m²·K), trova l’area di scambio A necessaria.

ṁh = 2 kg/scp,h = 2,3 kJ/(kg·K)Th: 160 → 130 °Cṁc = 3 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 25 °CU = 500 W/(m²·K)
A = m²

3Soluzioni

1.Conduzione del calore

Risposta: Q̇ = 194,3 W

Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.

Resistenze degli strati

R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,04·20) = 0,0625 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,17·20) = 0,01471 K/W

Flusso termico

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 15/0,07721 = 194,3 W

Risposta

Q̇ = 194,3 W
2.Conduzione del calore

Risposta: U = 0,2395 W/(m²·K)

Resistenza termica: il flusso di calore stazionario attraverso strati in serie si comporta come una corrente in resistori in serie: Q̇ = ΔT/ΣR, con R = L/(kA) per uno strato conduttivo e R = 1/(hA) per una superficie con convezione. La caduta di temperatura in ogni strato è proporzionale alla sua resistenza.

Resistenze in serie

Ri = 1/(hiA) = 1/(6·10) = 0,01667 K/W
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,72·10) = 0,02083 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,04·10) = 0,375 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·10) = 0,005 K/W
ΣR = 0,4175 K/W

Coefficiente globale

U = 1/(A·ΣR) = 1/(10·0,4175) = 0,2395 W/(m²·K)

Risposta

U = 0,2395 W/(m²·K)
3.Scambiatori di calore (LMTD)

Risposta: A = 47,85 m²

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Differenze di temperatura agli estremi (controcorrente)

In controcorrente l’ingresso caldo è di fronte all’uscita fredda, e l’uscita calda di fronte all’ingresso freddo.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 120 − 100 = 20 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 65 − 30 = 35 K

Differenza di temperatura media logaritmica

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (20 − 35)/ln(20/35) = 26,8 K

Area

A = Q̇/(U·F·ΔTlm,cf) = 590000/(500·0,92·26,8) = 47,85 m²

Risposta

A = 47,85 m²
4.Scambiatori di calore (LMTD)

Risposta: A = 2,416 m²

Metodo LMTD: la differenza di temperatura tra le correnti cambia lungo lo scambiatore, quindi l’equazione usa la sua media logaritmica: Q̇ = U·A·ΔTlm, con ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), dove ΔT₁ e ΔT₂ sono le differenze ai due estremi. A parità di temperature di ingresso e uscita, la controcorrente dà un ΔTlm maggiore dell’equicorrente.

Potenza termica e temperatura di uscita dell’acqua

Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 2·2,3·30 = 138 kW
Tc,out = 25 + 138/(3·4,18) = 36 °C

Differenze di temperatura agli estremi

In controcorrente l’ingresso caldo è di fronte all’uscita fredda, e l’uscita calda di fronte all’ingresso freddo.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 160 − 36 = 124 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 130 − 25 = 105 K

Differenza di temperatura media logaritmica

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (124 − 105)/ln(124/105) = 114,2 K

Area

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 138000/(500·114,2) = 2,416 m²

Risposta

A = 2,416 m²

ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer